Question

如圖甲所示，質量分別為m=1kg，M=2kg的A、B兩個小物塊用輕彈簧相連而靜止在光滑水平面上，在A的左側某處另有一個質量也為m=1kg的小物塊C以V₀=4m/s的速度正對A向右勻速運動，一旦與A接觸就將粘合在一起運動，若在C與A接觸前，使A獲得一初速度V_A0，并從此時刻開始計時，向右為正方向，其速度隨時間變化的圖象如圖乙所示（C與A未接觸前），彈簧始終未超過彈簧性限度．
（1）在C與A接觸前，當A的速度分別為6m/s、2m/s、-2m/s時，求對應狀態下B的速度，并在此基礎上在圖乙中粗略畫出B的速度隨時間變化圖象；
（2）若C在A的速度為V_A時與A接觸，在接觸后的運動過程中彈簧彈性勢能的最大值為E_p，求E_P的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）C與A接觸前，A、B組成的系統動量守恒，由動量守恒定律得到B速度的表達式，再代入數據求出B的速度，畫出圖象．
（2）無論C與A如何接觸，當A、B、C具有相同速度u時彈性勢能最大．根據系統的動量守恒求出u．再研究A、B碰撞過程，根據動量守恒和能量守恒求出碰撞損失的機械能．由三個物體的系統機械能守恒得到彈簧彈性勢能的表達式E_p表達式，分析得到范圍．

解答：解：（1）由動量守恒定律 mV_A0=mV_A+MV_B   ①
得  

V

B

=

m

M

(VA0-VA)
代入數據得 B與A對應的速度為0，2m/s，4m/s 
描繪圖象如圖示
（2）無論C與A如何接觸，當A、B、C具有相同速度u時彈性勢能最大，
 由動量守恒定律  mV₀+mV_A0=（2m+M）u    ②
   u=

mV0+mVA0

2m+M

=2.5m/s
設C與A碰撞前后A的瞬時速度分別為V_A、V，碰撞過程缺失機械能為△E，則
   mV₀+mV_A=2mV  ③
  △E=

1

2

m

V

2 0

+

1

2

m

V

2 A

-

1

2

×2mV2  ④
設最大的彈性勢能為E_p，則 Ep=

1

2

m

V

2 0

+

1

2

m

V

2 A0

-

1

2

(2m+M)u2-△E  ⑤
聯立②～⑤解得 EP=

1

2

m

V

2 0

+

1

2

m

V

2 A0

-

1

2

(2m+M)u2-

1

4

m(V0-VA)2  ⑥
可見V_A=V₀時，C與A接觸而粘在一起，不損失機械能，△E=0，E_P有最大值E_Pm．代入⑥式得
  EPm=

1

2

×1×42+

1

2

×1×62-

1

2

×(2×1+2)×2.52-0=13.5J
當V_A反向最大時，△E最大，E_P有最小值E_Pmin．
由第（1）問知，當V_A=-2m/s時，B的速度V_B=4m/s，這時A、B的總動能 EKAB=

1

2

m

V

2 A

+

1

2

M

V

2 B

=18J
A剛開始運動時，A、B和彈簧組成系統的總能量 EK=

1

2

m

V

2 A0

=18J
可見C與A碰撞前，A的反向最大速度不會超過2m/s，代入⑥得
  EPm=

1

2

×1×42+

1

2

×1×62-

1

2

×(2×1+2)×2.52-

1

4

×2×(4+2)2=4.5J
所以彈簧彈性勢能最大值的變化范圍是 13.5J≥E_P≥4.5J    
答：
（1）在C與A接觸前，當A的速度分別為6m/s、2m/s、-2m/s時，對應狀態下B的速度分別為，0，2m/s，4m/s．B的速度隨時間變化圖象如答圖所示．
（2）E_P的變化范圍為 13.5J≥E_P≥4.5J．

點評：對于這類彈簧問題注意用動態思想認真分析物體的運動過程，注意過程中的功能轉化關系；解答時注意動量守恒和能量守恒列式分析求解．