Question

如圖所示，半徑為R的四分之一圓弧形支架豎直放置，圓弧邊緣C處有一小定滑輪，繩子不可伸長，不計一切摩擦，開始時，m₁、m₂兩球靜止，且m₁＞m₂，試求：
（1）m₁釋放后沿圓弧滑至最低點A時的速度．
（2）為使m₁能到達A點，m₁與m₂之間必須滿足什么關系．
（3）若A點離地高度為2R，m₁滑到A點時繩子突然斷開，則m₁落地點離A點的水平距離是多少？

Answer 1

分析：（1）兩個滑塊構成的系統只有重力勢能和動能相互轉化，機械能守恒；同時繩子不可伸長，沿著繩子方向的分速度相等；
（2）為使m₁能到達A點，則要求其速度大于零即可；
（3）繩子斷開后，m₁落地落地前做平拋運動，根據平拋運動的分位移公式列式求解．

解答：解：（1）設m₁滑至A點時的速度為v₁，此時m₂的速度為v₂，由機械能守恒得：
m₁gR-

2

m₂gR=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²
又v₂=v₁cos45°
得：v1=

4m1gR-4 2 m2gR 2m1+m2

．
（2）要使m₁能到達A點，v₁≥0且v₂≥0，
必有：m₁gR-

2

m₂gR≥0，得：m₁≥

2

m₂．
（3）由2R=

1

2

gt²，x=v₁t得x=v1t=4R

m1- 2 m2 2m1+m2

答：（1）m₁釋放后沿圓弧滑至最低點A時的速度v1=

4m1gR-4 2 m2gR 2m1+m2

．
（2）為使m₁能到達A點，m₁與m₂之間必須滿足什么關系m₁≥

2

m₂．
（3）若A點離地高度為2R，m₁滑到A點時繩子突然斷開，則m₁落地點離A點的水平距離是x=4R

m1- 2 m2 2m1+m2

．

點評：本題關鍵是單個物體機械能不守恒，但兩個物體系統機械能守恒；同時要明確通過繩子、輕桿連接的物體，沿著繩子、桿子方向的分速度一定相等．