Question

如圖（甲）所示，兩上下正對水平放置的平行金屬板C、D相距很近，上面分別開有小孔O和O′，水平放置的平行金屬導軌P、Q與金屬板C、D接觸良好，且導軌垂直放在磁感強度為B₁=10T的豎直向上的勻強磁場中，導軌間距L=0.50m，金屬棒AB緊貼著導軌沿平行導軌方向在磁場中做往復運動，其速度圖象如圖（乙），若規定向右運動速度方向為正方向．從t=0時刻開始，由C板小孔O處連續不斷地以垂直于C板方向飄入質量為m=3.2×10^-21kg、電量q=1.6×10^-19C的帶正電的粒子（設飄入速度很小，可視為零）．在D板外側有以MN為邊界的勻強磁場B₂=10T，方向垂直紙面向里．MN與D相距d=10cm，（粒子重力及其相互作用不計），求
（1）在0到4.0秒內D板電勢什么時刻最高？且兩板電勢差的最大值為多少？
（2）0到4.0秒內哪些時刻從O處飄入的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界MN？
（3）粒子從邊界MN射出來的位置之間最大的距離為多少？

Answer 1

分析：（1）當金屬棒沿平行導軌方向在磁場中做往復運動時，產生的感應電動勢方向會改變，根據右手定則判斷出感應電動勢的方向，即可知道D板和C板電勢的高低．由E=BLv知，速度最大時，板間的電勢差最大．
（2）粒子要飛出磁場邊界MN，速度最小時，軌跡半徑也最小，恰好與MN相切，可得到軌跡半徑為d．根據粒子圓周運動的半徑r=

mv

qB

求出粒子進入磁場的速度，即為加速獲得的末速度，再由動能定理求出加速電壓U，由U=ε=B₁Lv 求出AB運動的速度，由乙圖可求出所求的量．
（3）當AB棒速度最大，產生的感應電動勢最大，CD板間電壓最大，粒子經加速得到的速度最大，在磁場中軌跡半徑也最大，粒子出MN邊時，偏轉距離最小，根據法拉第電磁感應定律、動能定理和半徑公式結合，并運用幾何知識求得粒子從邊界MN射出來的位置之間最大的距離．

解答：解：（1）根據右手定則判斷得知，當金屬棒向左運動時，即速度為負值時，D板的電勢高于C板的電勢．兩板電勢差等于金屬棒所產生的感應電動勢，由E=BLv知，速度最大時，板間的電勢差最大，所以可知，在3.0秒時刻D板電勢最高，為：
U=E=B₁Lv=10×0.5×20V=100V
（2）只有當CD板間的電場力方向向上，即AB棒向又運動時，粒子才可能從O運動O′，而粒子飛出磁場邊界MN軌跡半徑最大為r=d，則粒子能穿過電場并飛出磁場邊界MN的最小速度v₀必須滿足：r=d=

mv0

qB2

…①
設CD間的電壓為U，則有：qU=

1

2

m

v

2 0

…②
解①②得：U=25N
又因有：U=?=B₁Lv
解得：v₀=5m/s．
所以根據（乙）圖可以推斷在0.25s＜t＜1.75s內，粒子能穿過CD間的電場，并飛出磁場邊界．
（3）當AB棒速度最大，即v′=20m/s時產生感應電動勢為：
ε′=B₁Lv′=100V
此時帶電粒子經加速后速度為v，由動能定理有：
q?′=

1

2

mv²
解得：v=

2q?′ m

=

2×1.6×10-19×100 3.2×10-21

=100m/s
此時帶電粒子的軌跡半徑為：
R′=

mv

qB2

=

3.2×10-21×100

1.6×10-19×10

m=0.2m
出射點與O’的水平距離為：
x=R′-

R′2-d2

=（0.2-

0．22-0．12

）m=0.027m=2.7cm
粒子從邊界MN射出來的位置間最大距離為S=d-x=10cm-2.7cm=7.3cm
答：（1）0到4.0s內0.25s＜t＜1.75s時刻從O處飄入的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界MN．
（2）粒子從邊界MN射出來的位置之間最大的距離為7.3cm

點評：本題是電磁感應與帶電粒子在磁場中運動的綜合，要注意挖掘臨界條件，掌握電磁學基本知識和基本的分析思路，屬于中檔題．