Question

（2011?廣東模擬）如圖（甲）所示，兩平行金屬板間接有如圖（乙）所示的隨時間t變化的電壓u，兩板間電場可看作是均勻的，且兩板外無電場，極板長L=0.2m，板間距離d=0.2m，在金屬板右側有一邊界為MN的區域足夠大的勻強磁場，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應強度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續射入電場中，已知每個粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷q/m=10⁸C/kg，重力忽略不計，在每個粒子通過電場區域的極短時間內，電場可視作是恒定不變的．（取π=3.14）

（1）試求帶電粒子射出電場時的最大速度．
（2）證明任意時刻從電場射出的帶電粒子，進入磁場時在MN上的入射點和出磁場時在MN上的出射點間的距離為定值．寫出表達式并求出這個定值．
（3）從電場射出的帶電粒子，進入磁場運動一段時間后又射出磁場．試猜想粒子在磁場中運動的時間是否為定值，若是，求出該定值的大小；若不是，求粒子在磁場中運動的最長時間和最短時間．

Answer 1

分析：（1）當兩板間所能加的電壓最大時，粒子射出電場的速度最大．根據運動的分解和動能定理結合求出最大速度．
（2）畫出軌跡，由幾何知識找出該距離與軌跡半徑的關系來證明．
（3）定出最大的偏轉角和最小的偏轉角，利用周期求出最長和最短的時間．

解答：解：（1）設兩板間電壓為U₁時，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場，
      則有

d

2

=

1

2

at2=

1

2

?

U1q

dm

(

L

v0

)2；
     代入數據，解得：U₁=100V
     在電壓低于100V時，帶電粒子才能從兩板間射出，電壓高于100V時，帶電粒子打在極板上，不能從兩板間射出．
     粒子剛好從極板邊緣射出電場時，速度最大，設最大速度為v₁，則有：

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 0

+q?

U1

2

；
             解得：v1=

2

×105m/s=1.414×10⁵m/s
（2）設粒子進入磁場時速度方向與OO'的夾角為θ，
     則速度大小v=

v0

cosθ

，
    粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑R=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

，粒子從磁場中飛出的位置與進入磁場的位置之間的距離s=2Rcosθ=

2mv0

qB

    代入數據解得s=0.4m，s與θ無關，即射出電場的任何一個帶電粒子進入磁場的入射點與出射點間距離恒為定值．
（3）粒子飛出電場進入磁場，在磁場中按逆時針方向做勻速圓周運動．粒子飛出電場時的速度方向與OO'的最大夾角為α，
        則 cosα=

v0

v1

=

2

2

，α=45°．
     當粒子從下板邊緣飛出電場再進入磁場時，在磁場中運動時間最長，tmax=

3T

4

=

3πm

2qB

=3π×10^-6s=9.42×10^-6s；
     當粒子從上板邊緣飛出電場再進入磁場時，在磁場中運動時間最短，tmin=

T

4

=

πm

2qB

=π×10^-6s=3.14×10^-6s．
答：（1）帶電粒子射出電場時的最大速度為1.414×10⁵m/s．
（2）證明如上所述．粒子從磁場中飛出的位置與進入磁場的位置之間的距離s=2Rcosθ=

2mv0

qB

．
（3）粒子在磁場中運動的最長時間為9.42×10^-6s，最短時間為3.14×10^-6s．

點評：帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動解題一般程序是
  1、畫軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫出軌跡．
  2、找聯系：軌跡半徑與磁感應強度、速度聯系；偏轉角度與運動時間相聯系，時間與周期聯系．
  3、用規律：牛頓第二定律和圓周運動的規律．