Question

17．如圖所示（俯視圖），光滑水平面內有一匝數為n，總電阻為R的線圈在外作用下以速度v向右勻速穿過兩個相鄰的勻強磁場區域．線圈和兩磁場區域寬度均為L．磁感應強度大小分別為B、2B，方向分別為垂直水平面向下和垂直水平而向上．求：
（1）線圈剛進入磁場時外力大小F₀；
（2）試作出為維持線圈勻速運動所需的外力F與F₀的大小的比值隨位移x變化的圖象（令磁場左邊界為x=0，不要求寫出計算過程）；
（3）線圈勻速經過兩磁場區域過程中所產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）根據法拉第定律、歐姆定律和安培力公式求出線框所受的安培力，再由平衡條件求外力大小F₀；
（2）再運用同樣的方法求出線圈通過兩磁場中線時外力的大小，求出F與F₀的比值，再畫出圖象．
（3）線圈勻速經過兩磁場區域過程中所產生的熱量Q等于克服安培力做的功．由功能關系求解．

解答 解：（1）線圈剛進入磁場時，根據法拉第電磁感應定律得：
    E₁=nBLv
由歐姆定律得
   I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
線框所受的安培力 F₁=nBI₁L
由平衡條件得，外力大小F₀=F₁．
聯立解得 F₀=$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
（2）由上知，$\frac{x}{L}$在0-1內，$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$=1．
$\frac{x}{L}$在1-2內，根據法拉第電磁感應定律得：
  E₂=nBLv+n•2BLv=3nBLv
由歐姆定律得
  I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}$
線框所受的安培力 F₂=nBI₂L+n•2BI₂L=3nBI₂L
由平衡條件得，外力大小F=F₂．
聯立解得 F=9$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=9F₀
則 $\frac{F}{{F}_{0}}$=9．
$\frac{x}{L}$在2-3內，根據法拉第電磁感應定律得：
  E₃=n•2BLv=2nBLv
由歐姆定律得
  I₃=$\frac{{E}_{3}}{R}$
線框所受的安培力 F₃=n•2BI₃L=2nBI₃L
由平衡條件得，外力大小F=F₃．
聯立解得 F=4$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=4F₀
則 $\frac{F}{{F}_{0}}$=4．
畫出圖象如圖．
（3）線圈勻速經過兩磁場區域過程中所產生的熱量Q等于克服安培力做的功，則
  Q=F₁L+F₂L+F₃L=$\frac{14{n}^{2}{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
答：
（1）線圈剛進入磁場時外力大小F₀是$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$．
（2）如圖所示．
（3）線圈勻速經過兩磁場區域過程中所產生的熱量Q等于$\frac{14{n}^{2}{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$．

點評 本題要分段研究感應電動勢、感應電流和安培力，要注意線圈通過兩個磁場中線時，左右兩邊都要切割磁感線，產生兩個感應電動勢，這兩個感應電動勢串聯，還要注意線圈的匝數．