Question

10．假設航天員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間t小球落到星球表面，測得拋出點與落點之間的距離為L₁，若拋出時的速度增大到2倍，則拋出點與落點之間的距離為L₂，已知星球的半徑為R，引力常量為G，求該星球的質量m′．

Answer 1

分析 根據平拋運動的規律，知初速度增大到2倍，則水平位移也增大2倍，結合幾何關系求出小球落地的高度，通過平拋運動豎直方向上的運動規律求出重力加速度的大小，結合萬有引力等于重力求出月球的質量M．

解答 解：設拋出點的高度為h，第一次平拋運動時：L₁²=h²+（vt）²…①
若拋出的初速度為2倍時，因此有：L₂²=h²+（2vt）^2…②
設該星球表面的重力加速度為g，則$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$…③
聯立①②③得：${t}^{2}=\frac{{L}_{2}^{2}-{L}_{1}^{2}}{3{v}^{2}}$
代入①得：g=$\sqrt{\frac{8{L}_{1}^{2}-4{L}_{2}^{2}}{3t}}$
根據星球表面物體重力等于萬有引力為：$mg=\frac{Gmm′}{{R}^{2}}$
解得：m′=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{{R}^{2}}{G}•\sqrt{\frac{8{L}_{1}^{2}-4{L}_{2}^{2}}{3t}}$
答：該星球質量為$\frac{{R}^{2}}{G}•\sqrt{\frac{8{L}_{1}^{2}-4{L}_{2}^{2}}{3t}}$．

點評 本題綜合考查了平拋運動和萬有引力的綜合，知道平拋運動在水平方向上和豎直方向上的運動規律，以及掌握萬有引力等于重力這一理論，并能靈活運用．