Question

荷蘭科學家惠更斯在研究物體碰撞問題時做出了突出的貢獻．惠更斯所做的碰撞實驗可簡化為：三個質量分別為m₁、m₂、m₃的小球，半徑相同，并排懸掛在長度均為L的三根平行繩子上，彼此相互接觸．現把質量為m₁的小球拉開，上升到H高處釋放，如圖所示，已知各球間碰撞時同時滿足動量守恒定律和機械能守恒定律，且碰撞時間極短，H遠小于L，不計空氣阻力．
（1）若三個球的質量相同，則發生碰撞的兩球速度交換，試求此時系統的運動周期．
（2）若三個球的質量不同，要使球1與球2、球2與球3相碰之后，三個球具有同樣的動量，則m₁：m₂：m₃應為多少？它們上升的高度分別為多少？

Answer 1

分析：（1）球1與球2、球2與球3碰撞后速度互換，各球間碰撞時同時滿足動量守恒定律和機械能守恒定律，根據單擺周期公式求解
（2）對于球1與球2碰撞，對于球2與球3碰撞，根據機械能守恒定律列出等式求解．

解答：解：（1）球1與球2、球2與球3碰撞后速度互換，球3以球1碰球2前瞬間的速度開始上升到H高處，然后再擺回來與球2、球2與球1碰撞，使球1上升到H高處，此后，系統做到周期性運動，則T1=T3=2π

L g

，T=

1

2

(T1+T3)
由此可知系統的運動周期為：T=2π

L g

（2）由題意知三球碰后的動量均相同，設為p，
則Ek=

p2

2m

，球2在與球3碰前具有動量2p，
根據機械能守恒定律，對于球2與球3碰撞的情況應有：

(2p)2

2m2

=

p2

2m1

+

(2p)2

2m2

由此得：m₂：m₃=3：1
球1與球2碰前的動量為3p，根據機械能守恒定律有：

(3p)2

2m1

=

p2

2m1

+

(2p)2

2m2

由此得：m₁：m₂=2：1
從而可得：m₁：m₂：m₃=6：3：1
設三球碰后上升的高度分別為H₁、H₂、H₃
球1碰前動能E_K1=m₁gH，又E_K1=

(3p)2

2m1

，∴H₂=

9P2

2 m 2 1 g

球1碰后動能E_K1=m₁gH₁，又E_K1=

p2

2m

，∴H2=

P2

2 m 2 1 g

從而可得：H1=

H

9

同理可得：H2=

4H

9

H₃=4H
答：（1）若三個球的質量相同，則發生碰撞的兩球速度交換，T=2π

L g

．
（2）若三個球的質量不同，要使球1與球2、球2與球3相碰之后，三個球具有同樣的動量，則m₁：m₂：m₃=6：3：1．
它們上升的高度分別為

H

9

，

4H

9

，4H．

點評：本題主要考查了動量守恒定律及機械能守恒定律的應用，知道碰撞過程中機械能守恒，難度適中．