Question

如圖所示，傾角α=30°的等腰三角形斜面體固定在水平面上，一足夠長的輕質綢帶跨過斜面的頂端鋪放在斜面的兩側，綢帶與斜面間無摩擦．現將質量分別為M=4.0kg、m=2.0kg的小物塊同時輕放在斜面兩側的綢帶上．兩物塊與綢帶間的動摩擦因數μ相等，且最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取重力加速度g=10m/s²．
（1）若μ=

3

2

，試求兩物塊的加速度大小和方向；
（2）若μ=

3

6

，試求兩物塊的加速度大小和方向；
（3）若μ=

7 3

18

，試求兩物塊的加速度大小和方向．

Answer 1

斜面傾角α=30°，物塊重力沿斜面向下的分力為：G₁=mgsinα，
由題意知，物塊相對于綢帶的最大靜摩擦力為：f=μmgcosα，
當mgsinα＞μmgcosα，即：μ＜tanα=tan30°=

3

3

時，
物塊相對于綢帶滑動，當μ≥

3

3

時，物塊相對于綢帶靜止；
（1）μ=

3

2

＞

3

3

，兩物塊相對于綢帶靜止，以兩物塊與綢帶組成的系統為研究對象，由牛頓第二定律得：
（M-m）gsin30°=（M+m）a，
解得：a=

(M-m)gsin30°

M+m

=

(4-2)×10×0.5

4+2

=

5

3

m/s²，
M的加速度方向沿斜面向下，m的加速度方向沿斜面向上；
（2）μ=

3

6

＜

3

3

，物塊相對于綢帶滑動，由于f_M＞f_m，M相對綢帶靜止，M與綢帶一起運動，m相對于綢帶滑動，對m，由牛頓第二定律得：
mgsin30°-μmgcos30°=ma_小，
a_小=g（sin30°-μcos30°）=10×（0.5-

3

6

×

3

2

）=2.5m/s²，方向沿斜面向下，
M與綢帶一起沿斜面向下滑動，對M（包括綢帶）由牛頓第二定律得：
Mgsin30°-μmgcos30°=Ma_大，
a_大=g（sin30°-μ?

m

M

?cos30°）=10×（0.5-

3

6

×

2

4

×

3

2

）=3.75m/s²，方向沿斜面向下；
（3）μ=

7 3

18

＞

3

3

，物塊相對于綢帶靜止，
M相對于綢帶靜止，M與綢帶一起向下加速運動，
m受到的摩擦力為：μmgcos30°=

7 3

18

×2×10×

3

2

=

35

3

N，
m重力沿斜面方向的分力為：mgsin30°=2×10×0.5=10N，
摩擦力大于重力的分力，則m相對于綢帶滑動，
對m，由牛頓第二定律得：μmgcos30°-mgsin30°=ma，
即：

35

3

-10=2a，解得：a=

5

6

m/s²，方向沿斜面向上，
對M，由牛頓第二定律得：Mgsin30°-μmgcos30°=Ma′，
解得：a′=g（sin30°-μ?

m

M

?cos30°）=10×（0.5-

7 3

18

×

2

4

×

3

2

）=

25

12

m/s²，方向沿斜面向下；
答：（1）兩物塊的加速度大小都是

5

3

m/s²，M的加速度方向沿斜面向下，m的加速度方向沿斜面向上；
（2）m的加速度大小為2.5m/s²，方向沿斜面向下，M的加速度大小為3.75m/s²，方向沿斜面向下；
（3）m的加速度大小為

5

6

m/s²，方向沿斜面向上，M的加速度大小為

25

12

m/s²，方向沿斜面向下．