Question

20．如圖所示，摩托車做騰躍特技表演，以初速度v₀沿曲面沖上高0.8m、頂部水平的高臺，若摩托車沖上高臺的過程中始終以額定功率1.8kW行駛，經過1.2s到達平臺頂部，到達頂部后立即關閉發動機油門，人和車落至地面時，恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑，人和車經過A點時的速度是v_A=5.0m/s，已知圓弧半徑為R=1.0m，θ=106°，人和車的總質量為180kg，特技表演的全過程中不計一切阻力，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求
（1）人和車到達頂部平臺時的速度v₁；
（2）人和車運動到圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力．
（3）人和車速度v₀．

Answer 1

分析 （1）人和車離開頂部平臺后做平拋運動，由下落的高度求出到達A點時豎直分速度，根據A點的速度與水平方向的夾角為53°，求解速度v₁和A點的速度v₂．
（2）從A到O，由機械能守恒定律求出O點的速度，再由牛頓定律求人和車運動到圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力．
（3）對人和車上坡的過程，運用動能定理求人和車速度v₀．

解答 解：（1）人和車平拋過程，到達A點時豎直分速度 v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
根據tan53°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$=$\frac{4}{3}$，得 v₁=3m/s
A點的速度 v₂=$\frac{{v}_{y}}{sin53°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
（2）從A到O，由機械能守恒定律得：
   mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}m{v}_{O}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
在O點，由牛頓第二定律得
   F-mg=m$\frac{{v}_{O}^{2}}{R}$
聯立解得 F=7740N
由牛頓第三定律可知，人和車運動到圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力 F′=F=7740N，方向豎直向下．
（3）對人和車上坡的過程，運用動能定理得
  pt-mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=1m/s
答：
（1）人和車到達頂部平臺時的速度v₁是5m/s．
（2）人和車運動到圓弧軌道最低點O時對軌道的壓力是7740N，方向豎直向下．
（3）人和車速度v₀是1m/s．

點評 解決本題的關鍵是將整個過程分成三個子過程研究，抓住隱含的條件，如到達A點速度方向與水平方向成53°，運用平拋運動的規律求速度是關鍵．