Question

游樂場的過山車可以抽象成如圖1所示的模型：圓弧軌道的下端與圓軌道相接于M點，使一質量為m的小球從弧形軌道上距M點豎直高度為h處滾下，小球進入半徑為R的圓軌道下端后沿該圓軌道運動．實驗發現，只要h大于一定值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點N．不考慮摩擦等阻力．
（1）若h=5R，求小球通過M點時對軌道的壓力；
（2）若改變h的大小，小球通過最高點時的動能E_k也隨之改變，試通過計算在E_k-h圖2中作出E_k隨h變化的關系圖象．

Answer 1

分析：（1）小球由高度為h=5R處下落至到達M點過程中，軌道的支持力不做功，只有重力做功，運用機械能守恒列式，即可求出小球通過M點時的速度大小．小球通過M點時由重力和軌道的支持力的合力充當向心力，根據牛頓第二定律列式求出支持力，再由牛頓第三定律得到小球對軌道的壓力．
（2）根據根據機械能守恒定律列式求解得到E_k與h的關系式，結合臨界條件并畫出圖象．

解答：解：（1）下滑過程中，有：mgh=

mvM2

2

  
在M點，有：F_支-mg=m

vM2

R

 
解得：F_壓=F_支=11mg    
（2）從下滑到N點，有：mgh'=E_k=

1

2

mv_N²
即：mg（h-2R）=E_k   
因小球要能通過N點，應有：mg≤

mvM2

R

 
故  h'≥

1

2

R，即 h≥

5

2

R   
則E_k隨h變化的關系圖象如圖所示．
答：（1）小球通過M點時對軌道的壓力為11mg；
（2）作出E_K隨h的變化關系式為mg（h-2R）=E_k   
圖象如圖所示．

點評：本題關鍵是明確小球的運動規律，知道圓軌道最高點重力和支持力的合力提供向心力，同時要結合機械能守恒定律列式求解即可．