Question

3．如圖所示，A是地球的同步衛(wèi)星，B是與A在同一平面內(nèi)且離地高度為地球半徑R的另一衛(wèi)星，地球視為均勻球體且自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，地球表面的重力加速度為g，O為地球的球心，則（　　）

• A． 衛(wèi)星B的運(yùn)動(dòng)速度v_B=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
• B． 衛(wèi)星B的周期T_B=2π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． A的軌道半徑r=$\root{3}{\frac{{g}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
• D． 每經(jīng)過(guò)時(shí)間$\frac{4πT\sqrt{2R}}{T\sqrt{g}-4π\(zhòng)sqrt{2R}}$A與B之間的距離再次最小

Answer 1

分析 研究衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式表示出線速度，周期與半徑．
衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星B轉(zhuǎn)過(guò)的角度與衛(wèi)星A轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再一次相距最近．

解答 解：AB、設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力和牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{B}^{2}}$（R+h）=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{（R+h）}$
在地球表面有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
因B是與A在同一平面內(nèi)且離地高度為地球半徑R的另一衛(wèi)星，
即h=R，
聯(lián)立得：v_B=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{2R}}$=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
T_B=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$=2π$\sqrt{\frac{8R}{g}}$ 故A正確，B錯(cuò)誤．
C、A是地球的同步衛(wèi)星，依據(jù)引力提供向心力，則有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，故C錯(cuò)誤；
D、它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱鼤r(shí)，一定是B比A多轉(zhuǎn)了一圈，有：
ω_Bt-ω₀t=2π
其中ω_B=$\frac{2π}{{T}_{B}}$
得：t=$\frac{4πT\sqrt{2R}}{T\sqrt{g}-4π\(zhòng)sqrt{2R}}$，故D正確；
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．