Question

如圖所示，軌道ABCD的AB段為一半徑R=0.2m的光滑1/4圓形軌道，BC段為高h=5m的豎直軌道，CD段為水平軌道．一質量為0.1kg的小球由A點從靜止開始下滑到B點時速度的大小為2m/s，離開B點做平拋運動（g取10m/s²），求：
（1）小球到達B點時對圓形軌道的壓力大小？
（2）如果在BCD軌道上放置一個傾角θ=45°的斜面（如圖中虛線所示），那么小球離開B點后能否落到斜面上？如果不能，請說明理由；如果能，請求出它第一次落在斜面上的位置．

Answer 1

分析：（1）小球在B點時做的是勻速圓周運動，對小球受力分析，由向心力的公式可以求得小球受到的支持力的大小，在根據牛頓第三定律可以知道對圓形軌道的壓力大小；
（2）小球做平拋運動，根據平拋運動的規律可以求得水平距離，與斜面的長度相對比，可以知道，小球將落在斜面上，再根據平拋運動的規律可以求得落在斜面上的位置．

解答：解：（1）小球在B處受重力G和向上的彈力F作用，由牛頓第二定律有：
F向=F-G=

mv2

R

，
解得：F=3N
由牛頓第三定律知球對B的壓力F′=F，即小球到達B點時對圓形軌道的壓力大小為3N，方向豎直向下．
（2）設小球離開B點做平拋運動的時間為t₁，落地點到C點距離為s
由h=

1

2

gt₁²
得：t₁=

2h g

=

2×5 10

s=1s，
則有：s=v_Bt₁=2×1 m=2 m
如圖，斜面BEC的傾角θ=45°，CE長d=h=5m，因為d＞s，所以小球離開B點后能落在斜面上．（說明：其它解釋合理的同樣給分．）
假設小球第一次落在斜面上F點，BF長為L，小球從B點到F點的時間為t₂
Lcosθ=v_Bt²…①
Lsinθ=

1

2

gt₂²…②
聯立①、②兩式得：
t₂=0.4s；
L=

vBt2

cosθ

=

2×0.4

2 /2

m=0.8

2

m=1.13m
說明：關于F點的位置，其它表達正確的同樣也行．

答：（1）小球到達B點時對圓形軌道的壓力大小為3N，方向向下；
（2）小球離開B點后能落到斜面上．它第一次落在斜面上的位置L=1.13m．

點評：本題考查了圓周運動和平拋運動的規律，平拋運動可以分解為在水平方向上的勻速直線運動，和豎直方向上的自由落體運動來求解．