Question

7．如圖所示，質量分布均勻的小球，質量為m，半徑為R；傾角α=45°的斜面體質量為M，放置在水平面上．在水平推力作用下，使斜面體底角剛好與墻角接觸，撤去推力后小球和斜面體均做勻加速直線運動，直到小球恰好落地．不計一切摩擦，重力加速度為g．求：
（1）靜止時，水平推力F；
（2）撤去推力后，小球重力勢能的變化量；
（3）撤去推力后，斜面體勻加速運動的時間．

Answer 1

分析 （1）靜止時，先分析小球的受力情況，由平衡條件求墻壁對小球的彈力，再對整體，運用平衡條件求F的大小．
（2）撤去推力后，求出小球下降的高度，再求得小球重力勢能的變化量．
（3）撤去推力后，由牛頓第二定律求出兩者的加速度，由幾何關系求出小球和斜面體的位移關系，結合位移時間公式求解時間．

解答 解：（1）對小球分析：受到重力mg、墻壁的彈力F₁、斜面體的支持力F₂．

由平衡條件得
    F₁=mgtanα=mg
再對整體分析：重力（m+M）g、地面的支持力F_N、墻壁的彈力F₁、水平推力F
對整體，由平衡條件得 F=F₁=mg
（2）撤去推力后，小球重力勢能的變化量△E_p=-mg△h
如圖所示，由幾何關系得到小球的重心位置下降了△h=2Rcos45°=$\sqrt{2}$R
所以△E_p=-mg△h=-$\sqrt{2}$mgR

（3）撤去水平推力F后小球豎直向下加速運動，斜面體水平向右加速運動，設加速度分別為a₁和a₂．
根據牛頓第二定律得
對小球有
    mg-F₀cosα=ma₁
對斜面體有 
    F₀sinα=Ma₂
兩者的關系為 $\frac{\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}}{\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}}$=tanα
可得 a₁=a₂=$\frac{mg}{M+m}$
由幾何關系得到斜面體發生的位移 x=2Rcos45°
又 x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
解得  t=$\sqrt{2\sqrt{2}R\frac{（M+m）}{mg}}$
答：
（1）靜止時，水平推力F是mg；
（2）撤去推力后，小球重力勢能的變化量是-$\sqrt{2}$mgR；
（3）撤去推力后，斜面體勻加速運動的時間是$\sqrt{2\sqrt{2}R\frac{（M+m）}{mg}}$．

點評 本題涉及兩個物體，首先要選好研究對象，對平衡問題，采用隔離法和整體法結合研究，比較簡便．對兩個物體都運動的情形，關鍵要分析出它們位移的關系．