Question

3．一絕緣U形桿由兩段相互平行的足夠長的直桿PQ、MN和一半徑為R的光滑半圓環MAP組成，固定在豎直平面內，其中MN桿是光滑的，PQ桿是粗糙的，現將一質量為m的帶正電荷的小環（重力大于摩擦力）套在MN上．將小環由D點靜止釋放，如圖所示．
（1）若小環帶正電，小環所受電場力是重力的$\sqrt{3}$倍，則穩定后的一個周期內，通過的弧長？
（2）若小環帶正電，小環所受電場力是重力的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，則穩定后小環對軌道的最大壓力？

Answer 1

分析 （1）小球剛好到達P點時，速度為零，對小球從D點到P點過程，運用動能定理列式求解x．
（2）設B點時壓力最大，根據動能定理可明確B點的速度，再根據壓力最大時，合力應沿徑向方向列式，再聯立向心力公式求得壓力大小．

解答 解：（1）帶電小環穩定后只在光滑半圓環中運動，并且在P點的速度為零，由于電場力大于重力，帶電小環運動不到A點，設運動到半圓環右側的最低點與圓心的連線和豎直方向的夾角為θ₁，由動能定理可得：mgRcosθ₁-qE₁R（1-sinθ₁）=0
由題意得：qE₁=$\sqrt{3}$mg，
聯立解得：θ₁=$\frac{π}{6}$
一個周期內通過的弧長為：s=2×R（$\frac{π}{2}$-θ₁）=$\frac{πR}{3}$
（2）設帶電小環運動到B點對軌道的壓力最大，B點與圓心的連線與豎直方向的夾角為θ₂，對帶電小環從P點運動到B點應用動能定理得：
mgRcosθ₂-qE₂R（1-sinθ₂）=$\frac{1}{2}$mv_B²
在B點沿切線的合力為零，即：mgsinθ₂-qE₂cosθ₂=0
在B點由牛頓第二定律得：F_N-$\frac{mg}{cos{θ}_{2}}$=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
由題意可知：qE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg，
聯立解得：F_N=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mg，
由牛頓第三定律可得帶電小環對軌道的壓力大小為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mg，方向背離圓心．
答：（1）若小環帶正電，小環所受電場力是重力的$\sqrt{3}$倍，則穩定后的一個周期內，通過的弧長為$\frac{2π}{3}$R；
（2）若小環帶正電，小環所受電場力是重力的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，則穩定后小環對軌道的最大壓力為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mg

點評 本題考查帶電粒子在電場中的運動情況，要注意明確本題中小球還受到重力作用，應注意正確應用等效場進行分析求解．