Question

14．一長木板靜止在水平地面上，一滑塊靜止在長木板上，滑塊與木板間、木板與地面間的動摩擦因數分別為μ₁=0.2，μ₂=0.3，在t=0時刻給滑塊一向右的初速度v₀=2m/s，同時給木板一向左的初速度v₁=13m/s，己知滑塊與木板質量都為1kg，滑塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且滑塊始終在木板上，取重力加速度g=10m/s²，求：
（1）t=0時刻木板的加速度a；
（2）二者達到共速所需的時間t；
（3）長木板的總位移x；
（4）從t=0時刻到滑塊與木板均停止運動時，滑塊與木板間因摩擦產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）滑塊滑上木板后滑塊開始做勻減速直線運動，木板做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律木板的加速度a．
（2）由牛頓第二定律求滑塊的加速度，再由速度公式求出二者達到共速所需的時間t．
（3）共速前，由位移公式求出兩者相對于地面的位移，得到相對位移，從而求出滑塊與木板間摩擦產生的熱量，并求出木板與地面間摩擦產生的熱量．共速后兩者一起勻減速，由能量守恒定律求摩擦產生的熱量，從而得到總熱量．

解答 解：（1）設滑塊和木板的質量為m，以木板為研究對象，由牛頓第二定律得：
μ₁mg+μ₂•2mg=ma
代入數據可得：a=8m/s²．
（2）滑塊的加速度大小為：a′=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=2m/s²．
取向左為正方向，由v=v₁-at=-v₀+a′t
代入數據解得：t=1.5s，v=1m/s
（3）從開始到滑塊與木板共速的過程，長木板的位移為：
x₁=$\frac{{v}_{1}+v}{2}t$=$\frac{13+1}{2}×1.5$=10.5m
共速后兩者一起向左勻減速運動，由動能定理得：
-μ₂•2mgx₂=0-$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$
代入數據解得：x₂=$\frac{1}{6}$m
故長木板的總位移：為：x=x₁+x₂=$\frac{32}{3}$m
（3）設滑塊速度從v₀=2m/s減至零的時間為t′．則有：t′=$\frac{{v}_{0}}{a′}$=1s
此過程滑塊與木板的相對位移大小為：△x=（v₁t′-$\frac{1}{2}at{′}^{2}$）-$\frac{{v}_{0}}{2}t′$=7m
滑塊速度為0時，木板的速度為：v′=v₁-at′=5m/s
滑塊速度從0增大到兩者共速的相對位移大小為：△x′=$\frac{v+v′}{2}（t-t′）$=$\frac{1+5}{2}$×0.5=1.5m
故從t=0時刻到滑塊與木板均停止運動時，滑塊與木板間因摩擦產生的熱量為：
Q=μ₁mg（△x+△x′）
代入數據解得：Q=17J
答：（1）t=0時刻木板的加速度a是8m/s²；
（2）二者達到共速所需的時間t是1.5s；
（3）長木板的總位移x是$\frac{32}{3}$m；
（4）從t=0時刻到滑塊與木板均停止運動時，滑塊與木板間因摩擦產生的熱量Q是7J．

點評 本題．分析清楚物體的運動情況是關鍵根據牛頓第二定律和運動學公式結合研究動力學問題，要抓住兩個物體之間的聯系：滑動摩擦力大小相等，要注意兩個接觸面動摩擦因數不同．