Question

3．如圖所示，一塊質量為M的長木板A靜置于水平地面上，質量為m的小木塊B以速度v₀沿水平方向運動并恰好從左端滑上木板，設木板足夠長，木塊始終在木板上運動．設木板與地面間的動摩擦因數為μ₂，木塊與木板間的動摩擦因數為μ₁，重力加速度為g，且M=m，μ₁=3μ，μ₂=μ．求：
（1）從木板開始運動到最后停止運動共經歷的時間；
（2）木板在地面上滑行的距離s；
（3）木塊相對木板滑行的距離△s．

Answer 1

分析 （1）A做勻加速直線運動、B做勻減速直線運動，當兩者速度相等后一起做勻減速直線運動直到停止，由牛頓第二定律求出加速度，由運動學公式求出運動時間．
（2）應用勻變速直線運動的平均速度公式可以求出木板的位移．
（3）應用勻變速直線運動的平均速度公式求出木塊的位移，然后求出相對距離．

解答 解：（1）由牛頓第二定律，
對木塊B：a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=3μg，
對木板A：a₂=$\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}$=μg，
設兩物體經過時間t₁速度相等，則有：v=v₀-a₁t₁=a₂t₁，
解得：t₁=$\frac{{v}_{0}}{4μg}$，v=$\frac{1}{4}$v₀，
當兩物體間無相對運動后，兩者共同運動，直到速度減為零．設共同減速的加速度為a，對整體，由牛頓第二定律得：
a=$\frac{{μ}_{2}（M+m）g}{M+m}$=μg，
設共同減速所用時間為t₂，則：t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{{v}_{0}}{4μg}$，
設共經歷時間為t，則：t=t₁+t₂=$\frac{{v}_{0}}{2μg}$；
（2）物體v-t圖象如圖所示，木板在地上滑行的距離：s=$\frac{0+v}{2}$t₁+$\frac{v+0}{2}$t₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{16μg}$，
（3）木塊在木板上滑行的距離為：△s=s_木塊-s_木板=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$t₁-$\frac{v+0}{2}$t₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{8μg}$；
答：（1）從木板開始運動到最后停止運動共經歷的時間為$\frac{{v}_{0}}{2μg}$；
（2）木板在地面上滑行的距離s為$\frac{{v}_{0}^{2}}{16μg}$；
（3）木塊相對木板滑行的距離△s為$\frac{{v}_{0}^{2}}{8μg}$．

點評 本題是一道力學綜合題，物體運動過程復雜，分析清楚物體的受力情況與運動情況是解題的關鍵，應用牛頓第二定律與運動學公式可以解題．