Question

已知一顆人造衛星在半徑為R的某行星上空繞該行星做勻速圓周運動，經過時間t，衛星運動通過的弧長為S，衛星與行星的中心連線掃過的角度是θ弧度（已知引力常量為G）．求：
（1）人造衛星距該行星表面的高度h；
（2）該行星的質量M；
（3）該行星的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

（1）弧長S=rθ
高度h=r-R
故：h=

S

θ

-R；
（2）線速度：v=

S

t

萬有引力定律提供向心力，根據牛頓第二定律，有：
G

Mm

r2

=m

v2

r

解得：M=

S3

θGt2

；
（3）行星的第一宇宙速度是近地軌道的環繞速度，萬有引力提供向心力，故

GMm

R2

=m

v 21

R

解得：v1=

S3 θt2R

；
答：（1）人造衛星距該行星表面的高度h為

S

θ

-R；
（2）該行星的質量M為

S3

θGt2

；
（3）該行星的第一宇宙速度為

S3 θt2R

．