Question

(20分) 兩顆人造衛星繞地球沿同一橢圓軌道同向運動，它們通過軌道上同一點的時間相差半個周期．已知軌道近地點離地心的距離是地球半徑R的2倍，衛星通過近地點時的速度，式中M為地球質量，G為引力常量．衛星上裝有同樣的角度測量儀，可測出衛星與任意兩點的兩條連線之間的夾角．試設計一種測量方案，利用這兩個測量儀測定太空中某星體與地心在某時刻的距離．（最后結果要求用測得量和地球半徑R表示）

Answer 1

解析：

如圖，衛星繞地球運動的軌道為一橢圓，地心位于軌道橢圓的一個焦點O處，設待測量星體位于C處．根據題意，當一個衛星運動到軌道的近地點A時，另一個衛星恰好到達遠地點B處，只要位于A點的衛星用角度測量儀測出AO和AC的夾角a₁，位于B點的衛星用角度測量儀測出BO和BC的夾角a₂，就可以計算出此時星體C與地心的距離OC．

因衛星橢圓軌道長軸的長度

         (1)

式中r_近、與r_遠分別表示軌道近地點和遠地點到地心的距離．由角動量守恒

              (2)

式中m為衛星的質量．由機械能守恒

     (3)

已知

，      

得        (4)

所以        (5)

在△ABC中用正弦定理

        (6)

所以        (7)

地心與星體之間的距離為，在△BOC中用余弦定理

        (8)

由式(4)、(5)、(7)得

       

        (9)

評分標準：

本題20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．