Question

10．如圖所示，光滑的水平面上有一質量M=9kg的木板，其右端恰好和$\frac{1}{4}$光滑固定網弧軌道AB的底端等高對接（木板的水平上表面與圓弧軌道相切），木板右端放有一質量m₀=2kg的物體C（可視為質點），已知圓弧軌道半徑R=0.9m．現將一質量m=4kg的小滑塊（可視為質點），由軌道頂端A點無初速釋放，滑塊滑到B端后沖上木板，并與木板右端的物體C粘在一起沿木板向左滑行，最后恰好不從木板左端滑出．已知滑塊與木板上表面的動摩擦因數μ₁=0.25，物體C與木板上表面的動摩擦因數μ₂=0.1．取g=10m/s²．求：
（1）滑塊到達圓弧的B端時，軌道對它的支持力大小F_N．
（2）木板的長度l．

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒求出小滑塊從A點運動到B點的速度，根據牛頓第二定律求出軌道對它的支持力．
（2）滑塊滑上木板后，木板做勻加速直線運動，滑塊做勻減速直線運動，若兩者速度相等時，一起做勻速直線運動．根據系統的動量守恒，求出速度相等時的共同速度，由能量守恒定律對系統研究列式，求出木板的長度l．

解答 解：（1）滑塊從A端下滑到B端，由機械能守恒得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.9}$=$3\sqrt{2}$m/s
在B點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$    
解得軌道對滑塊的支持力為：F_N=3 mg=3×4×10=120 N   
由牛頓第三定律可知，滑塊對軌道的壓力為120 N 
（2）滑塊滑上木板后，滑塊與木板右側的物體C發生碰撞，以向左為正方向，設碰撞后共同的速度為v₁，則：
mv₀=（m+m₀）v₁
代入數據得：${v}_{1}=2\sqrt{2}$m/s
對滑塊、物塊C以及木板，三者組成的系統沿水平方向的動量守恒，設末速度為v₂，由動量守恒有：
（m+m₀）v₁=（m+m₀+M）v₂，
由能的轉化和守恒得：（μ₁m+μ₂m₀）•gl=$\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}（M+m+{m}_{0}）{v}_{2}^{2}$
代入數據得：l=1.2m
答：（1）滑塊到達圓弧的B端時，軌道對它的支持力大小為120N．
（2）木板的長度是1.2m．

點評 本題是機械能守恒、牛頓第二定律、動量守恒和能量守恒的綜合應用，根據能量守恒定律求解滑塊相對木板滑行的距離是常用的方法．