Question

18．一轉動裝置如圖甲所示，兩根足夠長輕桿OA、OB固定在豎直輕質轉軸上的O點，兩輕桿與轉軸間夾角均為30°，小球a、b分別套在兩桿上，小環c套在轉軸上，球與環質量均為m，c與a、b間均用長為L的細線相連，原長為L的輕質彈簧套在轉軸上，且與軸上P點、環c相連．當裝置以某一轉速轉動時，彈簧伸長到$\frac{3}{2}L$，環c靜止在O處，此時彈簧彈力等于環的重力，球、環間的細線剛好拉直而無張力．彈簧始終在彈性限度內，忽略一切摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）細線剛好拉直而無張力時，裝置轉動的角速度ω₁；
（2）如圖乙所示，該裝置以角速度ω² （未知）勻速轉動時，彈簧長為$\frac{L}{2}$，求此時桿對小球的彈力大小；
（3）該裝置轉動的角速度由ω₁緩慢變化到ω₂，求該過程外界對轉動裝置做的功．

Answer 1

分析 （1）細線剛好拉直而無張力時，球做圓周運動的向心力由重力和桿的支持力的合力提供，由牛頓第二定律和向心力公式求裝置轉動的角速度ω₁．
（2）彈簧長度從$\frac{3}{2}$L緩慢縮短為$\frac{1}{2}$L的過程中，彈簧的彈力大小不變，對球a，根據平衡平衡求桿對小球的彈力大小．
（3）球a做勻速圓周運動，由向心力公式求出角速度為ω₂時的線速度．由功能關系求解該過程外界對轉動裝置做的功．

解答 解：（1）小球做勻速圓周運動，由向心力公式有：
  mgtan60°=mω₁²Lsin30°
解得：角速度ω₁=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{L}}$
（2）對環c．由豎起方向力平衡得：2F_線cos60°=mg+F_彈；
由題，彈簧拉伸和壓縮的形變量相同，則F_彈=mg
對球a：豎直方向有 F_Nsin30°=mg+2F_線sin30°
解得，彈力 F_N=4mg
（3）球a做勻速圓周運動，根據向心力公式有：
  F_Ncos30°+F_線cos30°=mω₂²Lcos30°
a球的線速度 v₂=ω₂Lcos30°
整個過程彈簧彈性勢能的變化量為零，彈簧彈力做的功為零，對系統，由功能關系得：
   W=△E_p+△E_k=mg（$\frac{3L}{2}-\frac{L}{2}$）+2mg（$\frac{3L}{2}$-$\frac{\sqrt{3}L}{2}$）+2×$\frac{1}{2}m$[（ω₂Lcos30°）²-（ω₁$\frac{L}{2}$）²]=$\frac{17-3\sqrt{3}}{2}$mgL
答：
（1）細線剛好拉直而無張力時，裝置轉動的角速度ω₁是$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{L}}$．
（2）此時桿對小球的彈力大小是4mg；
（3）該裝置轉動的角速度由ω₁緩慢變化到ω₂，該過程外界對轉動裝置做的功是$\frac{17-3\sqrt{3}}{2}$mgL．

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律、共點力平衡和胡克定律的運用，當裝置轉動時，抓住小環平衡，小球在豎直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力進行求解．