Question

1．歷史上荷蘭科學家惠更斯在研究物體碰撞問題時做出了突出的貢獻．惠更斯所做的碰撞實驗可簡化為如下模型：三個質量分別為m₁、m₂、m₃的小球，半徑相同，并排懸掛在長度均為L的三根平行繩子上，彼此相互接觸．現把質量為m₁的小球拉開，上升到H高處釋放，如圖所示，已知各球間碰撞時同時滿足動量守恒定律和機械能守恒定律，且碰撞時間極短，H遠小于L，不計空氣阻力．若三個球的質量不同，要使球1與球2、球2與球3相碰之后，三個球具有同樣的動量，則：
（i）m₁：m₂：m₃應為多少？
（ii）它們上升的高度分別為多少？

Answer 1

分析 （i）對于球1與球2碰撞，對于球2與球3碰撞，根據機械能守恒定律列出等式求解質量之比．
（ii）對三球碰后上升的過程，分別運用機械能守恒定律求上升的高度．

解答 解：（i） 由題意知三球碰后的動量均相同，設為p，則 E_k=$\frac{{p}^{2}}{2m}$，球2在與球3碰前具有動量2p，根據機械能守恒定律，對于球2與球3碰撞的情況應有：
$\frac{（2p）^{2}}{2{m}_{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{2{m}_{2}}$+$\frac{{p}^{2}}{2{m}_{3}}$  
由此得：m₂：m₃=3：1 
球1與球2碰前的動量為3p，根據機械能守恒定律有：$\frac{（3p）^{2}}{2{m}_{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{2{m}_{1}}$+$\frac{（2p）^{2}}{2{m}_{3}}$
 由此得：m₁：m₂=2：1    
從而可得：m₁：m₂：m₃=6：3：1
（ii）設三球碰后上升的高度分別為H₁、H₂、H₃
球1碰前動能 E_k1=m₁gH，又E_k1=$\frac{（3p）^{2}}{2{m}_{1}}$，解得  H=$\frac{9{p}^{2}}{2{m}_{1}^{2}g}$
球1碰后動能 E_k1'=m₁gH₁，又 E_k1=$\frac{{p}^{2}}{2m}$
解得：H₁=$\frac{{p}^{2}}{2{m}_{1}^{2}g}$
從而可得：H₁=$\frac{1}{9}$H 
同理可得：H₂=$\frac{4}{9}$H，H₃=4H
答：（i）m₁：m₂：m₃應為6：3：1．
（ii）它們上升的高度分別為$\frac{1}{9}$H、$\frac{4}{9}$H、4H．

點評 解決本題的關鍵要抓住彈性碰撞的規律：滿足動量守恒定律和機械能守恒定律，分過程列式研究．