Question

8．甲、乙兩車均沿同一平直公路同向行駛（該路段限速72km/h）．初始時刻，甲車在乙車前方s₀=65m處．甲車始終以v₁=15m/s的速度勻速運動．乙車作初速度為零，加速度a=2.5m/s²的勻加速直線運動．求：
（1）乙車追上甲車之前，兩車之間的最大距離s_m；
（2）經過多少時間t，乙車追上甲車？

Answer 1

分析 （1）在乙車追上甲車之前兩車速度相等時相距最遠，據速度時間關系和位移時間關系求得最大距離；
（2）乙車追上甲車時兩車位移差等于65m，據位移時間關系求解，關鍵是乙車是否一直勻加速運動要進行判斷；

解答 解：（1）兩車速度相同時距離最大，設經時間t₁達到最大距離，則有：
v₂=at₁=v₁
代入數據解得：t₁=$\frac{15}{2.5}s=6s$
此時甲車位移為：x₁=v₁t₁=15×6=90m
乙車位移為：${x}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×2.5×{6}_{\;}^{2}=45m$
兩車之間最大距離為：s_m=x₁+s₀-x₂=90+65-45=110m
（2）如果甲一直做勻加速直線運動，乙車追上甲車需滿足x₂=x₁+s₀，即：
$\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}={v}_{1}^{\;}t+{s}_{0}^{\;}$
代入數據$\frac{1}{2}×2.5{t}_{\;}^{2}=15t+65$
解得：t=$2（3+\sqrt{61}）$s≈21.6s
此時甲的速度${v}_{甲}^{\;}=at=2.5×21.6＞20m/s$
所以甲先做勻加速運動，達到最大速度后勻速運動
$\frac{{v}_{m}^{2}}{2a}+{v}_{m}^{\;}（t-\frac{{v}_{m}^{\;}}{a}）={v}_{1}^{\;}t+{s}_{0}^{\;}$
代入數據：t=29s
答：（1）乙車追上甲車之前，兩車之間的最大距離s_m為110m；
（2）過29s時間乙車追上甲車．

點評 解決本題的關鍵是掌握追及相遇問題相距最大或最近距離的臨界條件是兩車速度相等．