Question

2．人造地球衛星因受大氣阻力，軌道半徑緩慢變小，則線速度和周期變化情況是（　　）

• A． 線速度增大，周期減小
• B． 線速度減小，周期減小
• C． 線速度增大，周期增大
• D． 線速度減小，周期增大

Answer 1

分析 衛星在阻力的作用下，要在原來的軌道減速，萬有引力將大于向心力，物體會做向心運動，軌道半徑變小，再根據人造衛星的萬有引力等于向心力，列式求出線速度、角速度、周期和向心力的表達式進行討論即可．

解答 解：衛星在阻力的作用下，要在原來的軌道減速，萬有引力將大于向心力，物體會做向心運動，軌道半徑變小
人造衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，設衛星的質量為m、軌道半徑為r、地球質量為M，有
F=F_向
F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$
F_向=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=m（$\frac{2π}{T}$）²r
因而
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=m（$\frac{2π}{T}$）²r=ma
解得
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$ ①
T=$\frac{2πr}{v}$=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$ ②
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$ ③
由①②③可知，當軌道半徑減小時，其線速度變大，周期變小，加速度變大；所以選項BCD錯誤，A正確
故選：A

點評 本題關鍵是根據題意得出軌道半徑變小，然后抓住萬有引力提供向心力，以及重力加速度的表達式，先列式求解出線速度、角速度、周期和加速度的表達式，再進行討論．