Question

按照目測估計，在到銀河系中心距離R=3×10⁹R₀（R₀是地球繞太陽公轉的半徑）范圍內聚集了質量M=1.5×10¹¹M₀（M₀為太陽的質量）的物質，觀察到離銀河系中心R處的一顆星球繞銀河系中心作勻速圓周運動，若計算該星球運動時可以認為銀河系質量聚集在其中心，則利用上述數據可算得該星球繞銀河系中心運動的周期為

4.24×10⁸

T₀（T₀為地球繞太陽公轉的周期），而實際觀測到該星球繞銀河系中心運動的周期為3.75×10⁸T₀，比較該星球運動周期的計算值和觀測值，試問造成二者差異的原因可能是：

銀河系在半徑為R的范圍內還有未被發現的物質

．

Answer 1

分析：地球繞太陽做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解出公轉周期表達式；離銀河系中心R處的一顆星球繞銀河系中心作勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，再次根據牛頓第二定律列式求解出公轉周期表達式；比較兩個周期即可得到關系．

解答：解：地球繞太陽做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：
G

Mom

R 2 0

=m

4π2R0

T 2 0

，
解得T0=2π

R 3 0 GM0

；
離銀河系中心R處的一顆星球繞銀河系中心作勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，同理可得：T =2π

R 3   GM

；
故

T

T0

=

( R R0 )3? M0 M

=

(3×109)3×(1.5×1011)

≈4.24×10⁸；
故T=4.24×10⁸T₀
而實際觀測到該星球繞銀河系中心運動的周期偏小，故一定是M偏大，即實際上有較多的未發現的物質；
故答案為：4.24×10⁸，銀河系在半徑為R的范圍內還有未被發現的物質．

點評：本題關鍵明確環繞天體受到的引力提供向心力，然后根據牛頓第二定律列方程求解出周期表達式后分析，計算較繁瑣，要細心．