Question

人造地球衛星在半徑為r的軌道上繞地球作勻速圓周運動，衛星所受的向心力與軌道半徑r的關系，下列說法中正確的是（　　）

• A．由

  a3

  T2

  可知，向心力與r²成反比
• B．由

  GM

  4π2

  可知，向心力與r成反比
• C．由M=

  g R 2 1

  G

  可知，向心力與r成正比
• D．由M=

  4π2 r 3 2

  G T 2 2

  可知，向心力與r 無關

Answer 1

分析：行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力為F=m

v2

r

．天文觀測難以直接得到行星運動的速度v，但是可以得到行星公轉的周期T，它們之間的關系為v=

2πr

T

，把這個結果代入上面向心力的表達式，整理后得到F=

4π2mr

T2

．不同行星公轉周期是不同的，F跟r關系的表達式中不應出現周期T，所以要設法消去式中的T．根據開普勒第三定律

a3

T2

=k，這里的a為r，所以T2=

r3

k

，代入上式便得到F=4π2k?

m

r2

．

解答：解：設行星的質量為m，速度為v，行星到太陽的距離為r，則行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力為F=m

v2

r

．
又因為v=

2πr

T

，代入上面向心力的表達式，整理后得到F=

4π2mr

T2

．
根據開普勒第三定律

a3

T2

=k，這里的a為r，所以T2=

r3

k

，代入上式便得到F=4π2k?

m

r2

故衛星所受的向心力與軌道半徑r的平方成反比．
故A正確，BCD錯誤．
故選：A．

點評：本題是根據開普勒第三定律推導萬有引力的問題，注意行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力為F=m

v2

r

．