Question

如圖所示的空間分為I、Ⅱ兩個區域，邊界AD與邊界AC的夾角為30°，邊界AC與MN平行，I、Ⅱ區域均存在磁感應強度大小為B的勻強磁場，磁場的方向分別為垂直紙面向外和垂直紙面向里，Ⅱ區域寬度為d，邊界AD上的P點與A點間距離為2d．一質量為m、電荷量為+q的粒子以速度v=2Bqd/m，
沿紙面與邊界AD成60°的圖示方向從左邊進入I區域磁場（粒子的重力可忽略不計）．
（1）若粒子從P點進入磁場，從邊界MN飛出磁場，求粒子經過兩磁場區域的時間．
（2）粒子從距A點多遠處進入磁場時，在Ⅱ區域運動時間最短？
（3）若粒子從P點進入磁場時，在整個空間加一垂直紙面向里的勻強電場，場強大小為E，當粒子經過邊界AC時撤去電場，則該粒子在穿過兩磁場區域的過程中沿垂直紙面方向移動的距離為多少？

Answer 1

（1）設粒子在磁場中作圓周運動的半徑為r，則
   qvB=m

v2

r

由題意，v=

2Bqd

m

解得，r=2d
粒子在磁場中作圓周運動的周期 T=

2πm

qB

設粒子在Ⅰ區轉過的角度為θ，則
   sinθ=

2dsin30°

r

=

1

2

得θ=30°
粒子在Ⅰ區運動時間 t₁=

θ

360°

T
設粒子在Ⅱ區運動時間為t₂，由對稱關系可知，粒子經過兩磁場區域的時間為t=t₁+t₂=2t₁
解得，t=

πm

3qB

（2）在Ⅱ區運動時間最短時，運動圓弧對應的弦長最短，應為d，由幾何關系可知，粒子入射點Q到邊界AC的距離應為

d

2

則入射點Q與A點的距離為d．
（3）再加上電場后，粒子沿電場方向做勻加速運動的加速度為 a=

qE

m

在Ⅰ區沿電場方向的偏轉距離為 y₁=

1

2

a

t

21

在Ⅱ區域沿磁場方向做勻速運動，y₂=at₁?t₂
則在粒子在穿過兩磁場區域的過程中沿垂直紙面方向移動的距離為
  y=y₁+y₂=

π2mE

24qB

答：
（1）若粒子從P點進入磁場，從邊界MN飛出磁場，粒子經過兩磁場區域的時間為

πm

3qB

．
（2）粒子從距A點d處進入磁場時，在Ⅱ區域運動時間最短
（3）粒子在穿過兩磁場區域的過程中沿垂直紙面方向移動的距離為

π2mE

24qB

．