Question

14．如圖所示是某中學學生根據回旋加速器原理設計的一個小型粒子加速器的原理示意圖，區域Ⅰ和區域Ⅱ存在勻強磁場B1和B₂．在寬度為d的區域Ⅲ內存在一個勻強電場，電勢差大小為U，通過自動調整兩區域間的電勢高低可使進入該區域的電勢差大小恒為U，通過自動調整兩區域間的電勢高低可使進入該區域的粒子持續加速．在圖中A位置靜止釋放一個質量為m，帶電量為q的正電粒子（重力不計），粒子經過兩次電場加速后最終垂直于區域Ⅰ邊緣AE射出，一切阻力不計，求：
（1）粒子進入區域Ⅰ和區域Ⅱ的速度之比
（2）區域Ⅰ和區域Ⅱ的磁感應強度之比
（3）已知區域Ⅰ的磁感應強度B₁=B₀，求從粒子釋放到從區域Ⅰ邊緣飛出的總時間．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出粒子進入區域Ⅰ和區域Ⅱ的速度，再求比值；
（2）畫出軌跡，根據幾何關系得到半徑關系，根據半徑公式求磁感應強度之比；
（3）求出粒子在電場和磁場中的運動時間即為粒子釋放到從區域Ⅰ邊緣飛出的總時間

解答 解：（1）設粒子進入區域Ⅱ的速度為${v}_{Ⅱ}^{\;}$，根據動能定理有：
$qU=\frac{1}{2}m{v}_{Ⅱ}^{2}-0$
解得：${v}_{Ⅱ}^{\;}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
設粒子進入區域Ⅰ的速度為${v}_{Ⅰ}^{\;}$，根據動能定理，有：
$qU=\frac{1}{2}m{v}_{Ⅰ}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{Ⅱ}^{2}$
解得：${v}_{Ⅰ}^{\;}=\sqrt{\frac{4qU}{m}}$
所以粒子進入區域Ⅰ和Ⅱ的速度之比為：$\frac{{v}_{Ⅰ}^{\;}}{{v}_{Ⅱ}^{\;}}=\sqrt{2}$
（2）畫出粒子運動的軌跡，如圖所示，由圖可知，在區域Ⅰ中的軌道半徑是區域Ⅱ中軌道半徑的2倍，由半徑公式有：
$R=\frac{mv}{qB}$
得：$B=\frac{mv}{qR}$
$\frac{{B}_{Ⅰ}^{\;}}{{B}_{Ⅱ}^{\;}}=\frac{{v}_{Ⅰ}^{\;}}{{v}_{Ⅱ}^{\;}}•\frac{{R}_{Ⅱ}^{\;}}{{R}_{Ⅰ}^{\;}}=\sqrt{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
（3）區域Ⅰ的磁感應強度B₁=${B}_{0}^{\;}$，區域Ⅱ的磁感應強度由（2）知，${B}_{Ⅱ}^{\;}=\sqrt{2}{B}_{0}^{\;}$
粒子由靜止到區域Ⅱ的時間為：$d=\frac{{v}_{Ⅱ}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$，
得：${t}_{1}^{\;}=\frac{2d}{{v}_{Ⅱ}^{\;}}=2d\sqrt{\frac{m}{2qU}}=d\sqrt{\frac{2m}{qU}}$=$\sqrt{2}d\sqrt{\frac{m}{qU}}$
在磁場區域Ⅱ中的時間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{T}_{Ⅱ}^{\;}=\frac{πm}{q{B}_{Ⅱ}^{\;}}=\frac{πm}{\sqrt{2}q{B}_{0}^{\;}}$
第二次在電場中加速的時間為：$d=\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{2qU}{m}}+\sqrt{\frac{4qU}{m}}）{t}_{3}^{\;}$，
得：${t}_{3}^{\;}=\frac{2d}{2+\sqrt{2}}\sqrt{\frac{m}{qU}}=（2-\sqrt{2}）d\sqrt{\frac{m}{qU}}$
在磁場區域Ⅰ中運動的時間為：${t}_{4}^{\;}=\frac{1}{4}\frac{2πm}{q{B}_{0}^{\;}}=\frac{πm}{2q{B}_{0}^{\;}}$
從粒子釋放到從區域Ⅰ邊緣飛出的總時間為：t=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}\frac{πm}{q{B}_{0}^{\;}}+2d\sqrt{\frac{m}{qU}}$
答：（1）粒子進入區域Ⅰ和區域Ⅱ的速度之比$\sqrt{2}$
（2）區域Ⅰ和區域Ⅱ的磁感應強度之比$\sqrt{2}：2$
（3）已知區域Ⅰ的磁感應強度B₁=B₀，從粒子釋放到從區域Ⅰ邊緣飛出的總時間$\frac{\sqrt{2}+1}{2}\frac{πm}{q{B}_{0}^{\;}}+2d\sqrt{\frac{m}{qU}}$

點評 解決該題的關鍵是根據題目的要求，正確畫出粒子運動的軌跡，并根據幾何關系寫出粒子的半徑與磁場的半徑的關系．記住粒子在磁場中勻速圓周運動的周期公式和半徑公式．