Question

如圖1所示，一端封閉的兩條平行光滑長導軌相距L，距左端L處的右側一段被彎成半徑為的四分之一圓弧，圓弧導軌的左、右兩段處于高度相差的水平面上。以弧形導軌的末端點O為坐標原點，水平向右為x軸正方向，建立Ox坐標軸。圓弧導軌所在區域無磁場；左段區域存在空間上均勻分布，但隨時間t均勻變化的磁場B(t)，如圖2所示；右段區域存在磁感應強度大小不隨時間變化，只沿x方向均勻變化的磁場B(x)，如圖3所示；磁場B(t)和B(x)的方向均豎直向上。在圓弧導軌最上端，放置一質量為m的金屬棒ab，與導軌左段形成閉合回路，金屬棒由靜止開始下滑時左段磁場B(t)開始變化，金屬棒與導軌始終接觸良好，經過時間t₀金屬棒恰好滑到圓弧導軌底端。已知金屬棒在回路中的電阻為R，導軌電阻不計，重力加速度為g。
（1）求金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產生的感應電動勢E；
（2）如果根據已知條件，金屬棒能離開右段磁場B(x)區域，離開時的速度為v，求金屬棒從開始滑動到離開右段磁場過程中產生的焦耳熱Q；
（3）如果根據已知條件，金屬棒滑行到x=x₁位置時停下來，
a. 求金屬棒在水平軌道上滑動過程中通過導體棒的電荷量q；
b. 通過計算，確定金屬棒在全部運動過程中感應電流最大時的位置。

Answer 1

解：（1）由圖2可知，
根據法拉第電磁感應定律，感應電動勢    ①
（2）金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，產生的焦耳熱
金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，根據機械能守恒定律
   ②
金屬棒在水平軌道上滑行的過程中，產生的焦耳熱為，根據能量守恒定律

所以，金屬棒在全部運動過程中產生的焦耳熱

（3）a．根據圖3，x=x₁（x₁﹤x₀）處磁場的磁感應強度。設金屬棒在水平軌道上滑行時間為。由于磁場B(x)沿x方向均勻變化，根據法拉第電磁感應定律
時間內的平均感應電動勢
所以，通過金屬棒電荷量
b．金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，根據①式，
金屬棒在水平軌道上滑行過程中，由于滑行速度和磁場的磁感應強度都在減小，所以，此過程中，金屬棒剛進入磁場時，感應電流最大
根據②式，剛進入水平軌道時，金屬棒的速度
所以，水平軌道上滑行過程中的最大電流
若金屬棒自由下落高度，經歷時間，顯然t₀﹥t
所以，
綜上所述，金屬棒剛進入水平軌道時，即金屬棒在x= 0處，感應電流最大