Question

4．成都至南充的高速公路上有一段水平筆直的路段，不少汽車在此路段高速追逐，現有可以視為質點的A、B兩車在同一車道上同向行駛，A車在前，B車在后，速度均為v₀=30m/s，相距x₀=100m，t=0時，A車遭遇緊急情況進行變速行駛，B車發現A車變速后也變速行駛，以初速度方向為正方向，A、B兩車的加速度隨時間變化的關系分別如圖甲、乙所示，則：

（1）兩車在計時開始之后的9s內何時相距最近？最近距離是多少？
（2）為了B車在t=12s時恰好位于A車后109m處，則乙圖中的a₀應是多少？

Answer 1

分析 （1）根據圖象判定甲和乙的運動性質根據甲乙運動性質和甲乙開始時的距離，有運動學分析甲乙兩車在0-9s內何時相距最近以及最近的距離；
（2）根據甲乙的運動性質求出9s末甲乙相距的距離，再根據甲做勻速直線運動，乙做勻加速直線運動求t=12s時兩車的距離從而求出乙勻加速運動的加速度所滿足的條件．

解答 解：（1）t₁=3s時A車的速度為：v₁=v₀+a₁t₁，
代入數值得：v₁=0
設3s后再經過t₂時間A、B兩車速度相等，此時兩車相距最近，有：a₂t₂=v₀+a₃t₂ 
代入數值得t₂=3s，即6s時兩車相距最近
兩車速度相等前A車的位移為：${x}_{A}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$
B車的位移為：${x}_{B}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}+{v}_{0}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{2}$
最近距離為：x_min=x₀+x_A-x_B 
聯立并代入數值得：x_min=10m 
（2）9s末，A車的速度為：v′₁=a₂t₃=30m/s 
9s內A車發生的總位移為：${x}_{A}^{′}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{3}^{2}$
代入數值得：${x}_{A}^{′}=135m$
9s末，B車的速度為：v₂′=v₀+a₃t₃=0，
9s內B車發生總位移為：${x}_{B}^{′}={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}+{v}_{0}^{\;}{t}_{3}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{2}$，
代入數值得：x_B′=180m
所以9s末，A車在B車前x=x₀+x_A′-x_B′=55m 
若要保證t=12s時B車在A車后109m，有：${v}_{1}^{′}{t}_{A}^{\;}+x-\frac{1}{2}{a}_{0}^{\;}{t}_{4}^{2}=x$
代入數值得：a₀=8m/s² 
答：（1）兩車在計時開始之后的9s內6s時相距最近，最近距離是10m
（2）為了B車在t=12s時恰好位于A車后109m處，則乙圖中的a₀應是$8m/{s}_{\;}^{2}$

點評 能正確的讀懂圖象，并能根據圖象所反映的物體運動規律進行求解．能抓住兩車相距最近時的臨界條件是兩車速度相等．