Question

6．如圖甲所示，兩根平行光滑金屬導軌相距L=1m，導軌平面與水平面的夾角θ=30°，導軌的下端PQ間接有R=8Ω電阻．相距x=6m的MN和PQ間存在磁感應強度大小為B、方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場．磁感應強度B隨時間t的變化情況如圖乙所示．將阻值r=2Ω的導體棒ab垂直放在導軌上，使導體棒從t=0時由靜止釋放，t=1s時導體棒恰好運動到MN，開始勻速下滑．g取10m/s²．求：
（1）0～1s內回路中的感應電動勢；
（2）導體棒ab的質量；
（3）0～2s時間內導體棒所產生的熱量．

Answer 1

分析 （1）在 0～1s內，磁場均勻變化，回路中產生恒定的感應電動勢，由法拉第電磁感應定律求感應電動勢；
（2）在～1s內，導體棒ab勻加速下滑，由牛頓第二定律和運動學公式求出t=1s末的速度．t=1s末以后，金屬棒ab進入恒定的磁場，做勻速運動，根據平衡條件和安培力與速度的關系結合求ab棒的質量；
（3）0～2s時間內，根據焦耳定律求導體棒所產生的熱量．

解答 解：（1）0-1s內，磁場均勻變化，由法拉第電磁感應定律有：
 E₁=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$S
由圖象得 $\frac{△B}{△t}$=2T/s，且 S=Lx=6m²
代入解得：E₁=12V
（2）導體棒從靜止開始做勻加速運動，加速度 agsinθ=10×0.5=5m/s²
t=1s末進入磁場區域的速度為 v=at₁=5×1=5m/s
導體棒切割磁感線產生的電動勢 E₂=BLv=2×1×5V=10V
根據導體棒進入磁場區域做勻速運動，可知導體受到的合力為零，有：
   mgsinθ=F_安=BIL
根據閉合電路歐姆定律有：I=$\frac{{E}_{2}}{R+r}$
聯立以上各式得：m=0.4kg
（3）在0～1s內回路中產生的感應電動勢為 E₁=12V
根據閉合電路歐姆定律可得  I₁=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$=$\frac{12}{8+2}$=1.2A
1s～2s內，導體棒切割磁感線產生的電動勢為 E₂=10V
根據閉合電路歐姆定律可得 I₂=$\frac{{E}_{2}}{R+r}$=$\frac{10}{8+2}$=1A
0～2s時間內導體棒所產生的熱量 Q=${I}_{1}^{2}r{t}_{1}$+${I}_{2}^{2}r（{t}_{2}-{t}_{1}）$
代入數據解得 Q=4.88J
答：（1）0～1s內回路中的感應電動勢是12V；
（2）導體棒ab的質量是0.4kg；
（3）0～2s時間內導體棒所產生的熱量是4.88J．

點評 本題是電磁感應與力學知識的綜合，要抓住安培力既與電磁感應有聯系，又與力學知識有聯系，熟練推導出安培力與速度的關系．當電流恒定時，往往根據焦耳定律求電熱．若電流是變化的，可根據能量守恒定律求熱量．