Question

7．如圖1所示，兩根水平的金屬光滑平行導軌，其末端連接等高光滑的$\frac{1}{4}$圓弧，其軌道半徑r=0.5m，圓弧段在圖中的cd和ab之間，導軌的間距為L=0.5m，軌道的電阻不計．在軌道的頂端接有阻值為R=2.0Ω的電阻，整個裝置處在豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度B=2.0T．現有一根長度稍大于L、電阻不計，質量m=1.0kg的金屬棒，從軌道的水平位置ef開始在拉力F作用下，從靜止勻加速運動到cd的時間t₀=2.0s，在cd的拉力為F₀=3.0N．已知金屬棒在ef和cd之間運動時的拉力隨時間變化的圖象如圖2所示，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）求勻加速直線運動的加速度．
（2）金屬棒做勻加速運動時通過金屬棒的電荷量q；
（3）勻加到cd后，調節拉力使金屬棒接著沿圓弧做勻速圓周運動至ab處，金屬棒從cd沿$\frac{1}{4}$圓弧做勻速圓周運動至ab的過程中，拉力做的功W_F．

Answer 1

分析 （1）據金屬棒做勻加速運動，利用運動學公式和在cd時，利用牛頓第二定律、感應電動勢、歐姆定律和安培力公式聯合求解．
（2）利用法拉第電磁感應定律和電流公式聯合求解．
（3）利用能量守恒、圓周運動的知識和產生的焦耳熱聯合求解．

解答 解：（1）設金屬棒勻加速運動的加速度為a，則運動到cd的速度：v=2a 
當金屬棒在cd時為研究對象，產生的感應電動勢：E=BLv
產生的電流：I=$\frac{E}{R}$
金屬棒所受的安培力：F=BIL
據牛頓第二定律得：F₀-F=ma
聯立以上帶入數據解得：a=1.5m/s²    ①
（2）據以上可知，金屬棒勻加速運動的位移：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$     ②
據法拉第電磁感應定律得：E₁=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{BLs}{△t}$    ③
通過金屬棒的平均電流：${I}_{1}=\frac{{E}_{1}}{R}$    ④
通過金屬棒的電量：q=I₁•△t   ⑤
聯立①②③④⑤帶入數據解得：q=1.5C
（3）金屬棒在圓弧軌道的速率：v=at=3m/s     ⑥
運動的時間為：t=$\frac{2πr}{4v}$   ⑦
產生的電動勢最大值：E_m=BLv  ⑧
由于圓弧段導體棒做的是勻速圓周運動，所以導體棒中產生正弦式電流，所以產生的熱量：
  Q=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}）^{2}}{R}$t    ⑨
據能量守恒可知：W=Q+mgh    （10）
聯立以上解得：W=5.59J
答：（1）金屬棒做勻加速運動的加速度1.5m/s²；
（2）金屬棒做勻加速運動時通過金屬棒的電荷量1.5C；
（3）金屬棒從cd沿$\frac{1}{4}$圓弧做勻速圓周運動至ab的過程中，拉力做的功為5.59J．

點評 此題為一道綜合性很強的題，牽涉知識點眾多，明確求電動勢、安培力、電量和功的方法是解題的關鍵，靈活利用求電量和能量守恒的結論是解題的捷徑．