Question

（2011?溫州模擬）如圖所示，在豎直平面內，粗糙的斜面軌道AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，C是最低點，圓心角∠BOC=37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R=1.0m，現有一個質量為m=0.2kg可視為質點的小物體，從D點的正上方E點處自由下落，DE距離h=1.6m，物體與斜面AB之間的動摩擦因數μ=0.5．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）物體第一次通過C點時軌道對物體的支持力F_N的大小；
（2）要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長度L_AB至少要多長；
（3）若斜面已經滿足（2）要求，物體從E點開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道做周期性運動，在此過程中系統因摩擦所產生的熱量Q的大小．

Answer 1

分析：（1）由機械能守恒可求得物體在C點的速度，C點物體做圓周運動，則由牛頓第二定律充當向心力可求得支持力；
（2）要使物體不飛出，則到達A點時速度恰為零，則由動能定理可求得AB的長度；
（3）由于摩擦力小于重力的分力，則物體不會停在斜面上，故最后物體將穩定在C為中心的圓形軌道上做往返運動，由功能關系可求得熱量Q．

解答：解：（1）物體從E到C，由機械能守恒得：mg（h+R）=

1

2

mv_c²；     ①
在C點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m

v 2 C

R

  ②
聯立①、②解得支持力 F_N=12.4N         ③
（2）從E～D～C～B～A過程，由動能定理得
W_G-W_f=0                           ④
W_G=mg[（h+Rcos37°）-L_ABsin37°]⑤
W_f=μmgcos37°LAB                  ⑥
聯立、④、⑤、⑥解得
斜面長度至少為：L_AB=2.4m       ⑦
（3）因為，mgsin37°＞μmgcos37°（或μ＜tan37°）
所以，物體不會停在斜面上．物體最后以C為中心，B為一側最高點沿圓弧軌道做往返運動．
從E點開始直至穩定，系統因摩擦所產生的熱量
Q=△E_P                         ⑧
△E_P=mg（h+Rcos37°）     ⑨
聯立⑥、⑦解得Q=4.8J    ⑩
在運動過程中產生熱量為4.8J．

點評：在考查力學問題時，常常將動能定理、機械能守恒及牛頓第二定律等綜合在一起進行考查，并且常常綜合平拋、圓周運動及勻變速直線運動等運動的形式．