Question

6．利用萬有引力定律可以測量中心天體的質量，通常有兩種方法，例如：測地球質量．
（1）測地球的質量的第一種方法
英國物理學家卡文迪許，在實驗室里巧妙地利用扭秤裝置，比較精確地測量出了引力常量的數值，他把自己的實驗說成是“稱量地球的質量”．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G．若忽略地球自轉影響，求地球的質量．
（2）測地球的質量的第二種方法
月球在地球引力作用下做勻速圓周運動，月球繞地球的運行周期為T，地球與月球兩球心的距離為r，已知引力常量為G．求地球質量．

Answer 1

分析 （1）根據地球表面物體的重力近似等于地球對物體的萬有引力即可求出；
（2）根據萬有引力提供月球繞地球做勻速圓周運動的向心力即可求出．

解答 解：（1）設地球質量為M，地球表面某物體的質量為m，忽略地球自轉的影響，則有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{g{R^2}}}{G}$；
（2）設地球質量為M，月球質量為m，根據萬有引力提供向心力得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}r$
解得：M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$．
答：（1）測地球的質量的第一種方法中地球的質量為$\frac{{g{R^2}}}{G}$．
（2）測地球的質量的第二種方法中，地球的質量為$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$．

點評 解決此題的關鍵是知道萬有引力在不同的位置充當的作用不同，地面上等于重力，天體運動中等于向心力．