Question

如圖所示，光滑水平面上有一質量M=4.0kg的平板車，車的上表面是一段長L=1.0m的粗糙水平軌道，水平軌道左側連一半徑R=0.25m的

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光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在O′點相切．車右端固定一個尺寸可以忽略、處于鎖定狀態的壓縮彈簧，一質量m=1.0kg的小物塊緊靠彈簧放置，小物塊與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.5．整個裝置處于靜止狀態．現將彈簧解除鎖定，小物塊被彈出，恰能到達圓弧軌道的最高點A．取g=10m/s²．求：
（1）解除鎖定前彈簧的彈性勢能；
（2）小物塊第二次經過O′點時的速度大小；
（3）小物塊與車最終相對靜止時距O′點的距離．

Answer 1

（1）平板車和小物塊組成的系統，水平方向動量守恒，解除鎖定前，總動量為零，故小物塊到達圓弧最高點A時，二者的共同速度v_共=0
設彈簧解除鎖定前的彈性勢能為E_p，上述過程中系統能量守恒，則有 
   E_p=mgR+μmgL
代入數據解得 E_p=7.5J
（2）設小物塊第二次經過O'時的速度大小為v_m，此時平板車的速度大小為v_M，研究小物塊在平板車圓弧面上的下滑過程，由系統動量守恒和機械能守恒有
  0=mv_m-Mv_M
mgR=

1

2

mvm2+

1

2

MvM2
代入數據解得 v_m=2.0m/s
（3）最終平板車和小物塊相對靜止時，二者的共同速度為0．
設小物塊相對平板車滑動的路程為S，對系統由能量守恒有 
   E_p=μmgS
代入數據解得S=1.5m
則距O'點的距離x=S-L=0.5m
答：
（1）解除鎖定前彈簧的彈性勢能是7.5J；
（2）小物塊第二次經過O′點時的速度大小是2m/s；
（3）小物塊與車最終相對靜止時距O′點的距離是0.5m．