Question

18．一轉動裝置如圖所示，四根長均為l的輕桿OA、OC，AB和CB，與兩小球及一小環通過餃鏈連接，球和環的質量均為m，O端固定在豎直的輕質轉軸上，套在軸上的輕質彈簧連接在O與小環之間，原長為L，裝置靜止時，彈簧長為$\frac{3}{2}$L．己知彈簧始終在彈性限度內，忽略摩擦和空氣阻力，則（　　）

• A． 彈簧的勁度系效為$\frac{2mg}{L}$
• B． 裝置靜止時，彈簧彈力等于mg
• C． 轉動該裝置并緩慢增大轉速，AB桿中彈力先減小后增大
• D． AB桿中彈力為零時，裝置轉動的角速度為$\sqrt{\frac{8g}{5L}}$

Answer 1

分析 裝置靜止時，分別對小環和小球分析，根據共點力平衡，結合胡克定律求出彈簧的勁度系數；當AB桿彈力為零時，對小環分析，根據共點力平衡和胡克定律求出彈簧的長度，對小球分析，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出裝置轉動的角速度ω₀．

解答 解：AB、裝置靜止時，設OA、AB桿中的彈力分別為F₁、T₁，OA桿與轉軸的夾角為θ₁，則cosθ₁=$\frac{3}{4}$，小環受到彈簧的彈力F_彈1=k$\frac{L}{2}$．
小環受力平衡，有：F_彈1=mg+2T₁cosθ₁
小球受力平衡，有：F₁cosθ₁+T₁cosθ₁=mg，F₁sinθ₁=T₁sinθ₁
解得F_彈1=2mg，k=$\frac{4mg}{L}$．故AB錯誤．
CD、設OA、AB桿中的彈力分別為F₂、T₂，OA桿與轉軸的夾角為θ₂，彈簧長度為x．小環受到彈簧的彈力F_彈2=k（x-L）．
小環受力平衡，F_彈2=mg，解得x=$\frac{5}{4}$L
對小球，F₂cosθ₂=mg，F₂sinθ₂=mω₀²Lsinθ₂，且cosθ₂=$\frac{x}{2L}$=$\frac{5}{8}$，解得ω₀=$\sqrt{\frac{8g}{5L}}$．
因為cosθ₂＜cosθ₁，則θ₂＞θ₁，可知轉動該裝置并緩慢增大轉速，AB桿中彈力先減小至零后增大．故CD正確．
故選：CD

點評 本題綜合考查了牛頓第二定律、共點力平衡和胡克定律的運用，要抓住當裝置轉動時，抓住小環平衡，小球在豎直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力進行研究．