Question

4．如圖所示，在傾角θ=37°的足夠長的斜面上，有質量m₁=2kg的長木板．開始時，長木板上有一質量m₂=1kg的小鐵塊（視為質點）以相對地面的初速度v₀=1m/s從長木板的最上端沿長木板向下滑動，同時長木板在沿斜面向上的拉力F的作用下始終做速度v=0.6m/s的勻速運動，小鐵塊最終與長木板一起沿斜面向上做勻速運動．已知小鐵塊與長木板、長木板與斜面間的動摩擦因數均為μ=0.8，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求小鐵塊在長木板上滑動時的加速度．
（2）小鐵塊與長木板發生相對滑動時和相對靜止時的拉力F分別為多大？
（3）長木板至少多長？

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出小鐵塊在長木板上滑動的加速度大小．
（2）對木板分析，根據共點力平衡 求出小鐵塊和木板發生相對滑動時拉力F的大小，對整體分析，根據共點力平衡求出相對靜止時拉力F的大小．
（3）根據速度時間公式求出小鐵塊速度減為零的時間，結合位移公式求出相對位移的大小，根據速度時間公式求出小鐵塊返回做勻加速直線運動速度達到0.6m/s的時間，結合位移公式求出相對位移的大小，從而求出長木板的至少長度．

解答 解：（1）根據牛頓第二定律得，小鐵塊在長木板上滑動時的加速度${a}_{1}=\frac{μ{m}_{2}gcosθ-{m}_{2}gsinθ}{{m}_{2}}$=μgcosθ-gsinθ=0.8×10×0.8-10×0.6=0.4m/s²．
（2）小鐵塊與長木板發生相對滑動時，對木板分析，根據平衡有：F=m₁gsinθ+μm₂gcosθ+μ（m₁+m₂）gcosθ=20×0.6+0.8×10×0.8+0.8×30×0.8N=37.6N．
小鐵塊與長木板相對靜止時，對整體分析，F=（m₁+m₂）gsinθ+μ（m₁+m₂）gcosθ=30×0.6+0.8×30×0.8N=37.2N．
（3）小鐵塊速度減為零的時間${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{1}{0.4}s=2.5s$，這段時間內相對位移的大小$△{x}_{1}=v{t}_{1}+\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{1}}=0.6×2.5+\frac{1}{0.8}$m=1.4m．
鐵塊速度達到0.6m/s所需的時間${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{0.6}{0.4}s=1.5s$，這段時間內相對位移的大小$△{x}_{2}=v{t}_{2}-\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=0.6×1.5-\frac{0.36}{2×0.4}$m=0.45m，
則木板的至少長度L=△x₁+△x₂=1.4+0.45m=1.85m．
答：（1）小鐵塊在長木板上滑動時的加速度為0.4m/s²；
（2）小鐵塊與長木板發生相對滑動時和相對靜止時的拉力F分別為37.6N、37.2N；
（3）長木板至少為1.85m．

點評 本題是兩個物體多個過程的問題，分析物體的運動過程是基礎，把握臨界條件是解題的關鍵．結合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解，有一定的難度．