Question

7．在豎直面內建立直角坐標系，曲線y=$\frac{{x}^{2}}{20}$位于第一象限的部分如圖，在曲線上不同點以初速度v₀向x軸負方向水平拋出質量為m，帶電量為+q的小球，小球下落過程中都會通過坐標原點，之后進入第三象限的勻強電場和勻強磁場區域，磁感應強度為B=$\sqrt{\frac{π}{10}}$T，方向垂直紙面向里，小球恰好做勻速圓周運動，并在做圓周運動的過程中都能打到y軸負半軸上（已知重力加速度為g=10m/s²、$\frac{q}{m}$=10²C/kg）．求：
（1）第三象限的電場強度大小及方向；
（2）沿水平方向拋出的初速度v₀；
（3）為使所有的小球都打到y軸負半軸，所加磁場區域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）小球在第三象限做勻速圓周運動，說明受到的合外力提供向心加速度，即洛倫茲力提供向心加速度，由此即可得出電場力與重力大小相等方向相反；
（2）小球在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動規律可以求出小球的速度；
（3）分析小球在電場中運動的可能的情況，結合矢量的分解的方法，求出粒子進入磁場時的速度方向與初速度、末速度的關系，得出半徑與偏轉距離的關系，從而得出磁場的長度和寬度，即可求出磁場區域的最小面積．

解答 解：（1）小球做勻速圓周運動，重力與電場力合力為零，即mg=qE，
解得：E=$\frac{mg}{q}$=$\frac{10}{1{0}^{2}}$=0.1N/C，方向：豎直向上；
（2）小球在電場中做類平拋運動，
水平方向：x=v₀t，
豎直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{g}{2{v}_{0}^{2}}$x²，
由題意可知：y=$\frac{{x}^{2}}{20}$，
解得：v₀=10m/s；
（3）設小球進入第三象限時的速度為v，與x軸負方向夾角為α，則：v₀=vcosα，
小球在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
小球打在y軸的點與原點的距離：H=2rcosα=$\frac{2mv}{qB}$，
所有小球均從y軸負半軸上同一點進入第四象限，
最小磁場區域為一半徑為R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$的半圓，
磁場面積：S=$\frac{π{R}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$π$（\frac{m{v}_{0}}{qB}）^{2}$，
解得，磁場最小面積：S=0.5m²；
答：（1）第三象限的電場強度大小為：0.1N/C，方向：豎直向上；
（2）沿水平方向拋出的初速度v₀為10m/s；
（3）為使所有的小球都打到y軸負半軸，所加磁場區域的最小面積為0.5m²．

點評 該題考查帶電粒子在磁場中的運動，粒子的入射點不同，則進入磁場的方向與大小都不同，解答的關鍵就是要通過分析，得出所有的點都從同一點射出，才能順利找出磁場的最小區域的邊界．