Question

如圖，質量為 m₁物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m₂的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態．一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤．開始時各段繩都處于伸直狀態，A上方的一段繩沿豎直方向．現在掛鉤上掛一質量m₃ 的物體C并從靜止狀態釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續上升．已知重力加速度為g．求此過程中：
（1）物體A上升的高度；
（2）彈簧彈性勢能的增量；
（3）若將C換成另一個質量為（m₁+m₃）的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B剛離地時D的速度的大小是多少？

Answer 1

分析：當掛一質量為m₃的物體C時，恰好能使B離開地面但不繼續上升，說明此時彈簧對B的拉力的大小恰好和B的重力相等，由此可以求得彈簧彈性勢能的增加量，當換成另一個質量為（m₁十m₃）的物體D時，彈簧彈性勢能的增加量是相同的，從而能可以求得B剛離地時D的速度的大小．

解答：解：（1）開始時，A、B靜止，設彈簧壓縮量為x₁，有
kx₁=m_lg    ①
掛C并釋放后，C向下運動，B向上運動，設B剛要離地時彈簧伸長量為x₂，有
kx₂=m₂g    ②
則物體A上升的高度h=x₁+x₂=

m1g

k

+

m2g

k

=

(m1+m2)g

k

；
（2）B不再上升，表示此時A和C的速度為零，C已降到其最低點．由機械能守恒，與初始狀態相比，彈簧彈性勢能的增加量為
△E=m₃g（x₁+x₂）-m₁g（x₁+x₂）=

(m1+m2)(m3-m1)g2

k

③
（3）C換成D后，當B 剛離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關系得

1

2

（m₁+m₃）V²+

1

2

m₁V²=（m₁+m₃）g（x₁+x₂）-m₁g（x₁+x₂）-△E       ④
由③④式得

1

2

（2m₁+m₃）V²=m₁g（x₁+x₂）     ⑤
由①②⑤式得
V=

2m1(m1+m2)g2 (2m1+m3)k

．
答：（1）物體A上升的高度

(m1+m2)g

k

；
（2）彈簧彈性勢能的增量

(m1+m2)(m3-m1)g2

k

；
（3）若將C換成另一個質量為（m₁+m₃）的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，所以B剛離地時D的速度的大小是V=

2m1(m1+m2)g2 (2m1+m3)k

．

點評：前后兩次的過程中，彈簧彈性勢能的增加量是相同的，這是聯系兩個過程的過度量，由此來求解D的速度．