Question

20．如圖所示，固定在豎直平面內的光滑圓環半徑為R，圓環上套有質量分別為m和2m的小球A、B（均可看作質點），且小球A、B用一長為2R的輕質細桿相連，在小球B從最高點由靜止開始沿圓環下滑至最低點的過程中（已知重力加速度為g）．下列說法正確的是（　　）

• A． B球減少的機械能等于A球增加的機械能
• B． B球減少的重力勢能等于A球增加的重力勢能
• C． B球的最大速度為$\sqrt{\frac{4gR}{3}}$
• D． A球克服細桿所做的功為mgR

Answer 1

分析 明確球A與B組成的系統機械能守恒，球B減少的機械能應等于球A增加的機械能；通過球B減少的重力勢能等于球A增加的重力勢能和兩球增加的動能之和即可求出球B的最大速度；再對A球應用動能定理即可求出細桿對小球做的功．

解答 解：A、對小球A與B組成的系統只有重力做功，系統的機械能守恒，小球B減少的機械能應等于小球A增加的機械能，故A正確；
B、根據機械能守恒定律可知，小球B減少的重力勢能應等于小球增加的重力勢能與兩小球增加的動能之和，故B錯誤；
C、當B到達最低點時，A與B組成的系統減小的重力勢能最大，A與B的動能最大，速度最大；
根據機械能守恒定律，系統減少的重力勢能為${△E}_{P減}^{\;}$=2mg•2R-mg•2R
系統增加的動能為：${△E}_{增}^{\;}$=$\frac{1}{2}{mv}_{\;}^{2}+\frac{1}{2}•2{mv}_{\;}^{2}$
由${△E}_{P減}^{\;}$=${△E}_{增}^{\;}$
解得：B球的最大速度為v=$\sqrt{\frac{4gR}{3}}$，故C正確；
D、對A球由動能定理應有：-mg•2R+${W}_{彈}^{\;}$=$\frac{1}{2}{mv}_{\;}^{2}$，代入數據可得：${W}_{彈}^{\;}$=$\frac{8}{3}mgR$，A球克服細桿所做的功為$\frac{8}{3}$mgR，故D錯誤；
故選：AC

點評 應明確：①涉及到有關“系統”的連接體問題，若有“光滑”等字眼時，應用系統機械能守恒定律求解；②對單個物體涉及到“功”的問題應用動能定理求解．