Question

2．如圖所示，一輕繩吊著粗細均勻的棒B，棒下端離地面高H，上端套著一個細環A．棒和環的質量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg．斷開輕繩，棒和環自由下落．與地面發生碰撞時，觸地時間極短，無動能損失．棒在整個運動過程中始終保持豎直，空氣阻力不計．求：
（1）若k＜1，在B再次著地前，要使A不脫離B，B至少應該多長？
（2）若k＞1，
①從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程s；
②從斷開輕繩到棒和環都靜止．摩擦力對環及棒做的總功W，假設棒足夠長．

Answer 1

分析 （1）A和B第一次下降時，都是做自由落體運動，當木棒與地面相碰后，木棒開始向上做勻減速運動，圓環A在摩擦力的作用下，向下做加速運動，分析木棒的運動情況可知，木棒的速度小于圓環A的速度，木棒受到的摩擦力始終向下，由牛頓第二定律求出加速度，再由位移公式可以計算出木棒的長度．
（2）棒運動的總路程為原來下降的高度H，加上第一次上升高度的兩倍，對棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，再由運動學公式可以求得上升的高度；　
（3）整個過程中能量的損失都是由于摩擦力對物體做的功，所以根據能量的守恒可以較簡單的求得摩擦力對環及棒做的總功．

解答 解：B再次著地時共用時  t=$\frac{2v}{{a}_{B}}$
對A物體：mg-f=ma_A
在此時間內A的位移X_a=vt+$\frac{1}{2}$a_At²                             
要在B再次著地前A不脫離B，木棒長度L必須滿足條件X_a≤L
解得：L≥$\frac{{{8m}^{2}g}^{2}h}{{（mg+f）}^{2}}$
（2）設以地面為零勢能面，向上為正方向，棒第一次落地的速度大小為v₁
由機械能守恒$\frac{1}{2}×2m{{v}_{1}}^{2}=2mgH$
解得 ${v}_{1}=\sqrt{2gH}$
設棒彈起后的加速度a_棒
由牛頓第二定律 a_棒=-（k+1）g
棒第一次彈起的最大高度${H}_{1}=-\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{棒}}$ 
解得 ${H}_{1}=\frac{H}{k+1}$
棒運動的路程  S=H+2H₁=$\frac{k+3}{k+1}H$
（3）設環相對棒滑動距離為l
根據能量守恒  mgH+mg（H+l）=kmgl
摩擦力對棒及環做的總功為：W=-kmgl
解得：$W=-\frac{2kmgH}{k-1}$．
答：（1）若k＜1，在B再次著地前，要使A不脫離B，B至少應該為大于等于$\frac{{{8m}^{2}g}^{2}h}{{（mg+f）}^{2}}$
（2）若k＞1，
①從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程s為$\frac{k+3}{k+1}H$
②從斷開輕繩到棒和環都靜止．摩擦力對環及棒做的總功W為$-\frac{2kmgH}{k-1}$

點評 本題綜合性較強，涉及多過程運動分析，難點在于分析棒和環的相對運動，進而得出位移，最后一個重要知識點是摩擦生熱的計算．