Question

（2006?湖北模擬）如圖所示，在方向豎直向上的磁感應強度為B特斯拉的勻強磁場中有兩條光滑固定的平行金屬導軌MN、PQ，導軌足夠長，間距為L，其電阻不計，導軌平面與磁場垂直．ab、cd為兩根垂直于導軌水平放置的金屬棒，其接入回路中的電阻均為R，質量均為m．與金屬導軌平行的水平細線一端固定，另一端與cd棒的中點連接，細線能承受的最大拉力為T，一開始細線處于伸直狀態，ab棒在平行導軌的水平拉力F（未知）的作用下以加速a向右做勻加速直線運動，兩根金屬棒運動時始終與導軌接觸良好且與導軌垂直．求：
（1）經多長時間細線被拉斷？
（2）若在細線被拉斷瞬間撤去拉力F，兩棒最終的速度各為多大？
（3）若在細線被拉斷瞬間撤去拉力F，兩根金屬棒之間距離增量△x的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）ab棒向右做勻加速運動進，穿過回路abcd的磁通量增大，回路中產生感應電動勢和感應電流，cd受到向右的安培力作用，當安培力大小等于細線的最大拉力時，細線被拉斷．根據 E=BLv、I=

E

2R

、F=BIL，v=at，推導出安培力F的表達式，細線剛被拉斷時F=T，即可求得t；
（2）在細線被拉斷瞬間撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右開始做加速運動，cd切割磁感線產生感應電動勢，回路中總的感應電動勢將減小，感應電流減小，則ab做加速度逐漸減小的減速運動，cd做加速度逐漸減小的加速運動，最終兩者以共同速度v′做勻速直線運動．根據系統動量守恒求得兩棒最終勻速運動時的速度．
（3）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電流公式I=

q

t

，求得通過兩棒的電量q，再對cd棒運用動量定理求解△x．

解答：解：（1）設繩被拉斷時回路中的電流為I，設拉斷時棒ab中電動勢為E，速度為v，運動時間為t，則
 E=BLv
 I=

E

2R

 v=at
cd棒所受的安培力為 F=BIL，
聯立解得，F=

B2L2at

2R

細線即將拉斷時，對cd有：T=F
解得：t=

2RT

B2L2a

（2）v=at=

2RT

B2L2

設兩棒勻速運動時的相同速度為v′，據動量守恒得：
  mv=2mv′
解得v′=

1

2

v=

RT

B2L2

（3）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律得：
 

.

I

=

. E

2R

=

△Φ

2R△t

通過兩棒的電荷量為q=

.

I

△t=

BL△x

2R

對cd棒，由動量定理得：B

.

I

L△t=mv′
聯立上兩式得：△x=

2mTR2

B4L4

答：
（1）經

2RT

B2L2a

時間細線被拉斷．
（2）若在細線被拉斷瞬間撤去拉力F，兩棒最終的速度各為

RT

B2L2

．
（3）若在細線被拉斷瞬間撤去拉力F，兩根金屬棒之間距離增量△x的最大值是

2mTR2

B4L4

．

點評：本題雙桿模型，當cd棒不動時，只有ab棒切割磁感線產生感應電動勢，關鍵要會推導安培力和運用動量定理求△x．當cd棒也運動時，關鍵要正確分析兩棒的運動情況．