Question

18.一個質量為M的雪橇靜止在水平雪地上,一條質量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇上,狗向雪橇的正后方跳下,隨后又追趕并向前跳上雪撬;其后狗又反復地跳下、追趕并跳上雪橇.狗與雪橇始終沿一條直線運動.若狗跳離雪橇時雪橇的速度為V,則此時狗相對于地面的速度為V＋u（其中u為狗相對于雪橇的速度,V＋u為代數和,若以雪橇運動的方向為正方向,則V為正值,u為負值）.設狗總以速度v追趕和跳上雪橇,雪橇與雪地間的摩擦忽略不計.已知v的大小為5 m/s,u的大小為4 m/s, M＝30 kg, m＝10 kg.

（1）求狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小.

（2）求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數.

（供使用但不一定用到的對數值:lg2＝0.301,lg3＝0.477）

Answer 1

18.參考解答：

（1）設雪橇運動的方向為正方向,狗第一次跳下雪橇后雪橇的速度為V₁,根據動量守恒定律,有MV₁＋m（V₁＋u）＝0

狗第一次跳上雪橇時,雪橇與狗的共同速度V₁′滿足MV₁＋mv＝（M＋m）V₁′

可解得V₁′＝

將u＝－4 m/s,v＝5 m/s,M＝30 kg,m＝10 kg代入,得V₁′＝2 m/s.

（2）解法（一）:

設雪橇運動的方向為正方向.狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度為

V _n－1,則狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度V_n－1′滿足

MV_n－1＋mv＝（M＋m）V_n－1′

這樣,狗n次跳下雪橇后,雪橇的速度為V_n滿足

MV_n＋m（V_n＋u）＝（M＋m）V_n－1′

解得V_n＝（v－u）［1－（）^n－1］－（）^n－1

狗追不上雪橇的條件是V_n≥v

可化為  （）^n－1≤

最后可求得n≥1＋

代入數據,得n≥3.41

狗最多能跳上雪橇3次

雪橇最終的速度大小為V₄＝5.625 m/s

解法（二）：

設雪橇運動的方向為正方向.狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度為V_i，狗的速度為V_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度為V′_i，由動量守恒定律可得

第一次跳下雪橇：MV₁＋m（V₁＋u）＝0

V₁＝－＝1 m/s

第一次跳上雪橇：MV₁＋mv＝（M＋m）V₁′

第二次跳下雪橇：（M＋m）V₁′＝MV₂＋m（V₂＋u）

V₂＝＝3 m/s

第二次跳上雪橇：MV₂＋mv＝（M＋m）V₂′

V₂′＝

第三次跳下雪橇：（M＋m）V₂′＝MV₃＋m（V₃＋u）

V₃＝＝4.5 m/s

第三次跳上雪橇：（M+m）V₃=MV₃′＋m（V₃′+u）

V₃′＝

第四次跳下雪橇：（M＋m）V₃′＝MV₄＋m（V₄＋u）

V₄＝＝5.625 m/s

此時雪橇的速度大于狗追趕的速度,狗將不可能追上雪橇.因此,狗最多能跳上雪橇3次.雪橇最終的速度大小為5.625 m/s.