Question

一個質量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇上.狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復地跳下、追趕并跳上雪橇.狗與雪橇始終沿一條直線運動.若狗跳離雪橇時雪橇的速度為v，則此時狗相對于地面的速度為v+u（其中u為狗相對于雪橇的速度，v+u為代數和，若以雪橇運動的方向為正方向，則v為正值，u為負值）.設狗總以速度v追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計.已知v的大小為5 m/s，u的大小為4 m/s，M=30 kg，m=10 kg.求：

（1）狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小；

（2）雪橇的最終速度和狗最多能跳上雪橇的次數.

（供使用但不一定用到的對數值：lg2=0.301，lg3=0.477）

Answer 1

（1）2 m/s  （2）5.625 m/s

解析:

（1）設雪橇運動的方向為正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度為v₁，根據動量守恒定律，有

Mv₁+m(v₁+u)=0

狗第1次跳上雪橇時，雪橇與狗的共同速度為v₁′滿足Mv₁+mv=(M+m)v₁′

可解得  v₁′=

將u=-4 m/s，v=5 m/s，M=30 kg，m=10 kg代入，得v₁′=2 m/s.

（2）設雪橇運動的方向為正方向，狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度為v_i，狗的速度為v_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度為v_i′，由動量守恒定律可得

第一次跳下雪橇：

Mv₁+m(v₁+u)=0

v₁=-=1 m/s

第一次跳上雪橇：

Mv₁+mv=(M+m)v_i′

第二次跳下雪橇：

（M+m）v_i′=Mv₂+m(v₂+u)，v₂′=

第三次跳下雪橇：

(M+m)v₂′=Mv₃+m(v₃+u)，v₃=

第四次跳下雪橇：

（M+m）v₃′=Mv₄+m(v₄+u)

v₄==5.625 m/s.

此時雪橇的速度已大于狗追趕的速度，狗將不可能追上雪橇.因此狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最終的速度大小為5.625 m/s.