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（1）如圖6-15，在光滑水平長直軌道上，放著一個靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各連接一個小球構成，兩小球質量相等.現突然給左端小球一個向右的速度u₀，求彈簧第一次恢復到自然長度時，每個小球的速度.

（2）如圖6-16，將N個這樣的振子放在該軌道上，最左邊的振子1被壓縮至彈簧為某一長度后鎖定，靜止在適當位置上，這時它的彈性勢能為E₀.其余各振子間都有一定的距離，現解除對振子1的鎖定，任其自由運動，當它第一次恢復到自然長度時，剛好與振子2碰撞，此后，繼續發生一系列碰撞，每個振子被碰后剛好都是在彈簧第一次恢復到自然長度時與下一個振子相碰.求所有可能的碰撞都發生后，每個振子彈性勢能的最大值.已知本題中兩球發生碰撞時，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度.

圖6-15

圖6-16

(1)u₁=0,u₂=u₀ (2)E_N=E₀

解析:

（1）設每個小球質量為m，以u₁、u₂分別表示彈簧恢復到自然長度時左右兩端小球的速度,由動量守恒和能量守恒定律有

mu₁+mu₂=mu₀（以向右為速度正方向）

mu₁²+mu₂²=mu₀²

解得u₁=u₀,u₂=0或u₁=0,u₂=u₀

由于振子從初始狀態到彈簧恢復到自然長度的過程中，彈簧一直是壓縮狀態，彈力使左端小球持續減速，使右端小球持續加速，因此應該取解析u₁=0,u₂=u₀.

（2）以v₁、v₁′分別表示振子1解除鎖定后彈簧恢復到自然長度時左右兩小球的速度，規定向右為速度的正方向，由動量守恒和能量守恒定律

mv₁+mv₁′=0

mv₁²+mv₁′²=E₀

解得v₁=,v₁′=-或v₁=-,v₁′=.

在這一過程中，彈簧一直是壓縮狀態，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應取解析

v₁=-,v₁′=

振子1與振子2碰撞后，由于交換速度，振子1右端小球速度變為0，左端小球速度仍為v₁.此后兩小球都向左運動，當它們向左的速度相同時，彈簧被拉伸至最長，彈性勢能最大，設此速度為v₁₀，根據動量守恒定律：

2mv₁₀=mv₁

用E₁表示最大彈性勢能，由能量守恒有

mv₁₀²+mv₁₀²+E₁=mv₁²

解得E₁=E₀

振子2被碰撞后瞬間，左端小球速度為，右端小球速度為0.以后彈簧被壓縮，當彈簧再恢復到自然長度時，根據（1）題結果，左端小球速度v₂=0，右端小球速度v₂′=，與振子3碰撞，由于交換速度，振子2右端小球速度變為0，振子2靜止，彈簧為自然長度，彈性勢能為E₂=0.

同樣分析可得

E₂=E₃=…=E_N-1=0

振子N被碰撞后瞬間，左端小球速度v_N-1′=，右端小球速度為0，彈簧處于自然長度.此后兩小球都向右運動，彈簧被壓縮，當它們向右的速度相同時，彈簧被壓縮至最短，彈性勢能最大.設此速度為v_N0，根據動量守恒定律，

2mv_N0=mv_N-1′

用E_N表示最大彈性勢能，根據能量守恒，有

mv_N0²+mv_N0²+E_N=mv_N-1²

解得E_N=E₀.

練習冊系列答案

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相關習題

科目：高中物理 來源： 題型：

（1）如圖1是一幅用50分度的游標卡尺測量一個零件長度的示意圖，則該零件的長度為

62.10

mm．

（2）已知太陽能電池組的電動勢大約為0.8V，短路電流約為40mA，為了精確地測出電池組的電動勢和內電阻，可供選擇的器材有
A．電流表（量程0.6A，內阻為0.15Ω）
B．電流表（量程20mA，內阻為40.00Ω）
C．電壓表（量程6.0V，內阻為5.20kΩ）
D．電阻箱（電阻99.99Ω，允許通過的最大的電流0.15A）
E．滑動變阻器（電阻20Ω，允許通過的最大電流1.5A）
F．開關和導線若干
①實驗中所需要的儀器是

（用儀器前的字母表示）；
②在虛線框內（圖2）畫出實驗的原理圖；
③寫出實驗中必須記錄的數據（用符號表示），并指出各符號的意義：

R₁、R₂為電阻箱的讀數，I₁、I₂為電流表的讀數，R_A為電流表內阻

；
④用③中記錄的數據表示電動勢和內阻的公式E=

I1I2(R1-R2)

I2-I1

I1I2(R1-R2)

I2-I1

；r=

I1R1-I2R2

I2-I1

-RA

I1R1-I2R2

I2-I1

-RA

．

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科目：高中物理 來源： 題型：

圖6-15

圖6-16

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科目：高中物理 來源： 題型：閱讀理解

第七部分熱學

熱學知識在奧賽中的要求不以深度見長，但知識點卻非常地多（考綱中羅列的知識點幾乎和整個力學——前五部分——的知識點數目相等）。而且，由于高考要求對熱學的要求逐年降低（本屆尤其低得“離譜”，連理想氣體狀態方程都沒有了），這就客觀上給奧賽培訓增加了負擔。因此，本部分只能采新授課的培訓模式，將知識點和例題講解及時地結合，爭取讓學員學一點，就領會一點、鞏固一點，然后再層疊式地往前推進。

一、分子動理論

1、物質是由大量分子組成的（注意分子體積和分子所占據空間的區別）

對于分子（單原子分子）間距的計算，氣體和液體可直接用，對固體，則與分子的空間排列（晶體的點陣）有關。

【例題1】如圖6-1所示，食鹽（N_aCl）的晶體是由鈉離子（圖中的白色圓點表示）和氯離子（圖中的黑色圓點表示）組成的，離子鍵兩兩垂直且鍵長相等。已知食鹽的摩爾質量為58.5×10^－3kg/mol，密度為2.2×10³kg/m³，阿伏加德羅常數為6.0×10²³mol^－1，求食鹽晶體中兩個距離最近的鈉離子中心之間的距離。

【解說】題意所求即圖中任意一個小立方塊的變長（設為a）的倍，所以求a成為本題的焦點。

由于一摩爾的氯化鈉含有N_A個氯化鈉分子，事實上也含有2N_A個鈉離子（或氯離子），所以每個鈉離子占據空間為 v =

而由圖不難看出，一個離子占據的空間就是小立方體的體積a³ ，

即 a³ = = ，最后，鄰近鈉離子之間的距離l = a

【答案】3.97×10^－10m 。

〖思考〗本題還有沒有其它思路？

〖答案〗每個離子都被八個小立方體均分，故一個小立方體含有×8個離子 = 分子，所以…（此法普遍適用于空間點陣比較復雜的晶體結構。）

2、物質內的分子永不停息地作無規則運動

固體分子在平衡位置附近做微小振動（振幅數量級為0.1），少數可以脫離平衡位置運動。液體分子的運動則可以用“長時間的定居（振動）和短時間的遷移”來概括，這是由于液體分子間距較固體大的結果。氣體分子基本“居無定所”，不停地遷移（常溫下，速率數量級為10²m/s）。

無論是振動還是遷移，都具備兩個特點：a、偶然無序（雜亂無章）和統計有序（分子數比率和速率對應一定的規律——如麥克斯韋速率分布函數，如圖6-2所示）；b、劇烈程度和溫度相關。

氣體分子的三種速率。最可幾速率v_P ：f(v) = （其中ΔN表示v到v +Δv內分子數，N表示分子總數）極大時的速率，v_P == ；平均速率：所有分子速率的算術平均值， ==；方均根速率：與分子平均動能密切相關的一個速率，==〔其中R為普適氣體恒量，R = 8.31J/(mol.K)。k為玻耳茲曼常量，k = = 1.38×10^－23J/K 〕

【例題2】證明理想氣體的壓強P = n，其中n為分子數密度，為氣體分子平均動能。

【證明】氣體的壓強即單位面積容器壁所承受的分子的撞擊力，這里可以設理想氣體被封閉在一個邊長為a的立方體容器中，如圖6-3所示。

考查yoz平面的一個容器壁，P = ①

設想在Δt時間內，有N_x個分子（設質量為m）沿x方向以恒定的速率v_x碰撞該容器壁，且碰后原速率彈回，則根據動量定理，容器壁承受的壓力

F == ②

在氣體的實際狀況中，如何尋求N_x和v_x呢？

考查某一個分子的運動，設它的速度為v ，它沿x、y、z三個方向分解后，滿足

v² = + +

分子運動雖然是雜亂無章的，但仍具有“偶然無序和統計有序”的規律，即

= + + = 3 ③

這就解決了v_x的問題。另外，從速度的分解不難理解，每一個分子都有機會均等的碰撞3個容器壁的可能。設Δt = ，則

N_x = ·3N_總 = na³ ④

注意，這里的是指有6個容器壁需要碰撞，而它們被碰的幾率是均等的。

結合①②③④式不難證明題設結論。

〖思考〗此題有沒有更簡便的處理方法？

〖答案〗有。“命令”所有分子以相同的速率v沿+x、?x、+y、?y、+z、?z這6個方向運動（這樣造成的宏觀效果和“雜亂無章”地運動時是一樣的），則 N_x =N_總 = na³ ；而且v_x = v

所以，P = = ==nm = n

3、分子間存在相互作用力（注意分子斥力和氣體分子碰撞作用力的區別），而且引力和斥力同時存在，宏觀上感受到的是其合效果。

分子力是保守力，分子間距改變時，分子力做的功可以用分子勢能的變化表示，分子勢能E_P隨分子間距的變化關系如圖6-4所示。

分子勢能和動能的總和稱為物體的內能。

二、熱現象和基本熱力學定律

1、平衡態、狀態參量

a、凡是與溫度有關的現象均稱為熱現象，熱學是研究熱現象的科學。熱學研究的對象都是有大量分子組成的宏觀物體，通稱為熱力學系統（簡稱系統）。當系統的宏觀性質不再隨時間變化時，這樣的狀態稱為平衡態。

b、系統處于平衡態時，所有宏觀量都具有確定的值，這些確定的值稱為狀態參量（描述氣體的狀態參量就是P、V和T）。

c、熱力學第零定律（溫度存在定律）：若兩個熱力學系統中的任何一個系統都和第三個熱力學系統處于熱平衡狀態，那么，這兩個熱力學系統也必定處于熱平衡。這個定律反映出：處在同一熱平衡狀態的所有的熱力學系統都具有一個共同的宏觀特征，這一特征是由這些互為熱平衡系統的狀態所決定的一個數值相等的狀態函數，這個狀態函數被定義為溫度。

2、溫度

a、溫度即物體的冷熱程度，溫度的數值表示法稱為溫標。典型的溫標有攝氏溫標t、華氏溫標F（F = t + 32）和熱力學溫標T（T = t + 273.15）。

b、（理想）氣體溫度的微觀解釋： = kT （i為分子的自由度 = 平動自由度t + 轉動自由度r + 振動自由度s 。對單原子分子i = 3 ，“剛性”〈忽略振動，s = 0，但r = 2〉雙原子分子i = 5 。對于三個或三個以上的多原子分子，i = 6 。能量按自由度是均分的），所以說溫度是物質分子平均動能的標志。