Question

如圖所示，一個很長的豎直放置的圓柱形磁鐵，在其外部產生一個中心輻射的磁場（磁場水平向外），其大小為B=

k

r

（其中：r為輻射半徑-考察點到圓柱形磁鐵中心軸線的距離，k為常數），設一個與磁鐵同軸的圓形鋁環，半徑為R（大于圓柱形磁鐵的半徑），制成鋁環的鋁絲其橫截面積為S，鋁環由靜止開始下落通過磁場，下落過程中鋁環平面始終水平，已知鋁絲電阻率為ρ，密度為ρ₀，當地的重力加速度為g，試求：
（1）鋁環下落的速度為v時的電功率是多大？
（2）鋁環下落的最終速度v_m是多大？
（3）如果從開始到下落高度為h時，速度最大，經歷的時間為t，這一過程中鋁環中電流的有效值I₀是多大？

Answer 1

分析：（1）根據電阻定律求出圓環的電阻，根據法拉第電磁感應定律求出切割磁感線產生的電動勢，根據電功率的表達式求解．
（2）當圓環加速度為零時，有最大速度，由平衡條件求解．
（3）由能量守恒定律，結合由有效值來確定熱量，從而即可求解．

解答：解：（1）由題意知圓環所在處的磁感應強度B=

K

R

，圓環的有效切割長度為其周長，即L=2πR，
圓環的電阻R₀=ρ

L

S

=ρ

2πR

S

，當圓環的速度為v時，切割磁感線產生的電動勢E=BLv=2kπv，
圓環中的電流I=

KvS

ρR

，圓環速度為v時電功率P=I²R₀
聯立以上各式解得：P=

2πSK2 v2

ρR

（2）當圓環加速度為零時，有最大速度v_m，此時安培力F=BIL=

2πSK2vm

ρR

由平衡條件可知：mg=F，圓環的質量m=ρ₀S?2πR
 解得：v_m=

ρρ0gR2

K2

（3）由能量守恒定律得：
mgh=

1

2

m

v

2 m

+

I

2 0

Rt 
則：

I

2 0

Rt=2πρ₀RS[gh-

1

2

（

ρρ0gR2

K2

）²]
解得：I0=

2πρ0RS[gh- 1 2 ( ρρ0gR2 K2 )2 Rt

答：（1）鋁環下落速度為v時的電功率是

2πSK2 v2

ρR

，
（2）鋁環下落的最終速度是

ρρ0gR2

K2

，
（3）當下落h高度時，速度最大，此過程鋁環中電流的有效值I₀是：I0=

2πρ0RS[gh- 1 2 ( ρρ0gR2 K2 )2 Rt

點評：解決該題關鍵是把電磁感應與電路知識，能量守恒定律結合起來求解．