Question

設北斗導航系統中的地球同步衛星在距地面高度為h的同步軌道做圓周運動．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G．下列說法正確的是（　　）

• A．同步衛星運動的周期為2π

  R g

• B．同步衛星運行的線速度為

  g(R+h)

• C．同步軌道處的重力加速度為(

  R

  R+h

  )2g
• D．地球的平均密度為

  3g

  4πGR2

Answer 1

分析：地球同步衛星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式；在地球表面，重力等于萬有引力，再次列式；然后聯立求解．

解答：解：地球同步衛星在距地面高度為h的同步軌道做圓周運動，萬有引力提供向心力，有：
G

Mm

(R+h)2

=ma=m

v2

R+h

=m(R+h)ω2=m(

2π

T

)2(R+h)
解得：
a=

GM

(R+h)2

                       ①
v=

GM R+h

                       ②
ω=

GM (R+h)3

                     ③
T=2π

(R+h)3 GM

                   ④
在地球表面，重力等于萬有引力，有：
mg=G

Mm

R2

解得：GM=gR²                    ⑤
A、由④⑤兩式解得同步衛星運動的周期為：T=2π

(R+h)3 GM

=2π

(R+h)3 gR2

，故A錯誤；
B、由②⑤兩式解得同步衛星運行的線速度為：v=

GM R+h

=

gR2 R+h

，故B錯誤；
C、同步軌道處的重力加速度為：a=

GM

(R+h)2

=

gR2

(R+h)2

，故C正確；
D、根據萬有引力提供向心力，有：
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
解得：M=

4π2(R+h)3

GT2

由⑤式得到：M=

gR2

G

故地球的密度為：ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3g

4πGR

，故D錯誤．
故選：C．

點評：本題關鍵是明確兩點：衛星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力；地球表面重力等于萬有引力．