Question

兩根相距為L的平行金屬導軌固定于水平面上，導軌電阻不計。一個質量為m、長為L、寬為a的線框放在水平導軌上（如圖所示），長邊的電阻均為2R，寬邊電阻不計，導軌與線框間的動摩擦因數為μ，兩者接觸電阻不計。導軌左端連有阻值為2R的電阻，導軌平面上有n個豎直向上的寬度為a、間距為b的勻強磁場 區域(a＜b)，磁感應強度為B。線框右邊初始位于OO'處，OO'與第一個磁場區域左邊界相距2a，求：
(1)給線框向右的初速度v₀，為使線框保持v₀的速度一直向右穿過各磁場區域，需對線框施加水平向右的拉力。求線框不在磁場中時受到的拉力F₁和在磁場中時受到的拉力F₂的大小；
(2)在(1)的情況下，求線框從OO'開始運動到線框左邊剛離開第2個磁場區域過程中，拉力所做的功；
(3)若線框初速度為零，現對其施以水平向右的恒定拉力F，使線框進入各磁場的速度都相同，求線框從OO'開始運動到線框左邊剛離開第n個磁場區域的整個過程中，導軌左端電阻上產生的熱量。

Answer 1

解：(1)因為線框保持v₀的速度不變，所以此過程中線框受力平衡
線框不在磁場中時F₁=μmg
線框在磁場中時F₂=μmg+BIL
線框切割磁感線時只有一條邊在磁場中，產生電動勢為E=BLv₀
又電路中的總電阻為R_總=3R，所以電流為
所以
(2)因為線框保持v₀的速度不變，動能不變，所以總功為零
拉力所做的功W_F=W_克f+W_克A
全過程中克服摩擦力做功為W_克f=μmg(2a+3a+b)
全過程中克服安培力做功為W_克A=
所以拉力所做的功
(3)進入磁場前，
為了使線框進入各磁場的速度都相同，線框在磁場中應減速，在非磁場中應加速
線框每次在磁場中減速過程，安培力做功相同設為W_A，剛離開磁場時速度設為v₂
則每次在磁場過程 ①
在非磁場應加速過程，加速到剛進入磁場時速度恰好為v₁
則每次不在磁場過程 ②
聯立①②解得W_A=(F-μmg)(a+b)
整個過程中產生的總熱量為Q_總=-nW_A=n(F-μmg)(a+b)
根據電路功率分配：導軌左端電阻上產生的熱量為Q=Q_總=