Question

(16分)如圖所示，在高h₁＝1.2m的光滑水平臺面上，質量m＝1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲存了一定量的彈性勢能E_p，若打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度v₁向右滑離平臺，并恰好能從B點的切線方向進入光滑圓弧形軌道BC，B點的高度h₂＝0.6m，其圓心O與平臺等高，C點的切線水平，并與地面上長為L＝2.8m的水平粗糙軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運動與右邊墻壁發生碰撞，取g＝10m/s²。

⑴求小物塊由A到B的運動時間；
⑵小物塊原來壓縮彈簧時儲存的彈性勢能E_p是多大？
⑶若小物塊與墻壁碰撞后速度方向反向，大小為碰前的一半，且只發生一次碰撞，則小物塊與軌道CD之間的動摩擦因數μ的取值范圍多大？

Answer 1

⑴t＝0.346s；⑵E_p＝2J；⑶≤μ＜。

試題分析：⑴小物塊由A運動到B的過程中，只受重力作用，做平拋運動，在豎直方向上根據自由落體運動規律可知，小物塊由A運動到B的時間為：t＝＝s≈0.346s
⑵根據圖中幾何關系可知，h₂＝h₁(1－cos∠BOC)，解得：∠BOC＝60°
設小物塊離開桌面時的速度為v₁，根據平拋運動規律有：tan60°＝，解得：v₁＝2m/s
根據能的轉化與守恒可知，小物塊原來壓縮彈簧時儲存的彈性勢能為：E_p＝＝2J
⑶據題意知，μ的最大值對應的是物塊撞墻前瞬間的速度無限小，根據能量關系有：mgh₁＋Ep＞μmgL
解得：μ＜
對于μ的最小值求解，首先應判斷物塊第一次碰墻反彈后，能否沿圓軌道滑離B點，設物塊在D處的速度為v₂，由能量關系有：mgh₂＋Ep＝μmgL＋
第一次碰墻后返回至C處的動能為：E_kC＝－μmgL
即使當μ＝0，有：＝8J，＝2J＜mgh₂＝6J，即小物塊返回時不能滑至B點
在上述分析下，μ的最小值對應著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經C恰好至D點停止，因此有：≤2μmgL，解得：μ≥
所以滿足題目條件的動摩擦因數μ的取值范圍為：≤μ＜