Question

2007年我國(guó)成功地發(fā)射了一顆繞月球運(yùn)行的探測(cè)衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”．“嫦娥一號(hào)”將在距離月球表面高為h的軌道上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）若已知月球半徑為R_月，月球表面的重力加速度為g_月．則“嫦娥一號(hào)”環(huán)繞月球運(yùn)行的周期為多少？
（2）若已知月球半徑為地球半徑的四分之一，月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的六分之一，則月球的“第一宇宙速度”約為多大（保留1位有效數(shù)字）？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)繞月衛(wèi)星的萬(wàn)有引力等于向心力和月球表面重力等于萬(wàn)有引力，聯(lián)立列式求解出周期；
（2）根據(jù)貼近星球表面衛(wèi)星受到的重力等于向心力列式計(jì)算第一宇宙速度．

解答：解：（1）：（1）繞月衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m、軌道半徑為r、月球質(zhì)量為M，有
G

Mm

(R月+h)2

=m(

2π

T

)2(R月+h)
 月球表面物體所受的重力等于萬(wàn)有引力，則
G

Mm

R 2 月

=mg月
由上面二式解得
T=2π

(R月+h)3 g月R月2

即“嫦娥一號(hào)”環(huán)繞月球運(yùn)行的周期為2π

(R月+h)3 g月R月2

．
（2）在星球表面，由重力提供環(huán)繞運(yùn)動(dòng)物體的向心力
mg=m

v2

R

，
可得該星球的第一宇宙速度
v=

gR

v月

v地

=

g月R月 g地R地

=

1 6 × 1 4

=

1

2 6

故v月=

1

2 6

v地=

7.9

2 6

=1.6km/s
保留1位有效數(shù)字，則v_月=2km/s．
答：（1）“嫦娥一號(hào)”環(huán)繞月球運(yùn)行的周期為2π

(R月+h)3 gR月2

．
（2）月球的“第一宇宙速度”約為2km/s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵掌握三個(gè)關(guān)系：第一，繞月衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力等于向心力，第二，月球表面物體所受的重力等于萬(wàn)有引力，第三，近月衛(wèi)星和近地衛(wèi)星受到的重力等于向心力．