Question

9．若某發(fā)電機(jī)的正方形線(xiàn)圈以ω=50rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，線(xiàn)圈各邊長(zhǎng)a=40cm，匝數(shù)n=100匝，線(xiàn)圈電阻r=1，轉(zhuǎn)動(dòng)軸OO′穿過(guò)線(xiàn)圈對(duì)邊的中點(diǎn)，整個(gè)裝置位于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．線(xiàn)圈為R=9Ω的電阻供電．求：
（1）若從圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，寫(xiě)出感應(yīng)電流的瞬時(shí)值表達(dá)式；
（2）若從圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，$\frac{π}{300}$s內(nèi)通過(guò)R的電荷量；
（3）若該發(fā)電機(jī)為某村供電，輸出功率為120kW，輸出電壓為400V，輸電導(dǎo)線(xiàn)的總電阻為10Ω，輸電導(dǎo)線(xiàn)上損耗的電功率為4kW，該村的用電電壓是220V．求升壓、降壓變壓器的原、副線(xiàn)圈的匝數(shù)比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公式E_m=NBSω求解電動(dòng)勢(shì)最大值；由歐姆定律求出電流的最大值，從垂直中性面位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，i=I_mcosωt；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律列式求解電動(dòng)勢(shì)的平均值，再根據(jù)歐姆定律求解平均電流，最后根據(jù)電流定義公式求解電量．
（3）由發(fā)電機(jī)輸出功率與輸出電壓求得升壓變壓器的原線(xiàn)圈的電流I₁，由是I₁，I₂得升壓變壓器的匝數(shù)比；
求出升壓變壓器的匝數(shù)比后可求出降壓變壓器的原線(xiàn)圈的電壓，再與用戶(hù)電壓結(jié)合求出降壓變壓器的原副線(xiàn)圈的匝數(shù)比．

解答 解：（1）感應(yīng)電動(dòng)動(dòng)勢(shì)的最大值${E}_{m}^{\;}=nBSω=nB{a}_{\;}^{2}ω$=100×0.5×0.4×0.4×50=400V
感應(yīng)電流的最大值${I}_{m}^{\;}=\frac{{E}_{m}^{\;}}{R+r}=\frac{400}{9+1}A=40A$
感應(yīng)電流的瞬時(shí)值表達(dá)式i=40cos50t（A）
（2）初狀態(tài)磁通量${Φ}_{1}^{\;}=0$
經(jīng)$\frac{π}{300}s$，線(xiàn)圈轉(zhuǎn)過(guò)的角度$θ=ωt=50×\frac{π}{300}=\frac{π}{6}$
末狀態(tài)磁通量${Φ}_{2}^{\;}=BSsin\frac{π}{6}$=$0.5×0.4×0.4×\frac{1}{2}=0.04Wb$
平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$\overline{E}=n\frac{△Φ}{△t}$
平均電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
電量$q=\overline{I}•△t$
聯(lián)立得$q=n\frac{△Φ}{R+r}$=$100×\frac{0.04-0}{9+1}=0.4C$
（3）發(fā)電機(jī)輸出電流${I}_{1}^{\;}=\frac{P}{{U}_{1}^{\;}}=\frac{120×1{0}_{\;}^{3}}{400}=300A$
${P}_{損}^{\;}={I}_{2}^{2}r$
得${I}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{{P}_{損}^{\;}}{r}}=\sqrt{\frac{4000}{10}}=20A$
升壓變壓器原副線(xiàn)圈的匝數(shù)比$\frac{{n}_{1}^{\;}}{{n}_{2}^{\;}}=\frac{{I}_{2}^{\;}}{{I}_{1}^{\;}}=\frac{20}{300}=\frac{1}{15}$
升壓變壓器副線(xiàn)圈兩端的電壓${U}_{2}^{\;}=15{U}_{1}^{\;}=15×400=6000V$
輸電線(xiàn)上損失的電壓${U}_{損}^{\;}={I}_{2}^{\;}R=20×10=200V$
降壓變壓器原線(xiàn)圈兩端的電壓${U}_{3}^{\;}={U}_{2}^{\;}-{U}_{損}^{\;}=6000-200=5800V$
降壓變壓器原副線(xiàn)圈的匝數(shù)比為$\frac{{n}_{3}^{\;}}{{n}_{4}^{\;}}=\frac{{U}_{3}^{\;}}{{U}_{4}^{\;}}=\frac{5800}{220}=\frac{290}{11}$
答：（1）若從圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，感應(yīng)電流的瞬時(shí)值表達(dá)式i=40cos50t（A）；
（2）若從圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，$\frac{π}{300}$s內(nèi)通過(guò)R的電荷量為0.4C；
（3）若該發(fā)電機(jī)為某村供電，輸出功率為120kW，輸出電壓為400V，輸電導(dǎo)線(xiàn)的總電阻為10Ω，輸電導(dǎo)線(xiàn)上損耗的電功率為4kW，該村的用電電壓是220V．升壓、降壓變壓器的原、副線(xiàn)圈的匝數(shù)比分別為1：15 和 290：11．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵知道正弦式交流電峰值的表達(dá)式E_m=nBSω，同時(shí)要會(huì)計(jì)算平均值和瞬時(shí)值，不難．對(duì)于交變電流，求解熱量、電功和電功率用有效值，對(duì)于正弦式電流最大值是有效值的$\sqrt{2}$倍，求解電量用電流的平均值．